Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Biến cố hợp, giao và độc lập – Toán 11 Bài 28 – Gia Sư SV

“Có ít nhất một điều xảy ra” khác với “cả hai điều cùng xảy ra”. Viết đúng biến cố trước khi tính giúp tránh cộng hoặc nhân xác suất theo cảm tính.

Mục tiêu: Diễn đạt hợp, giao, đối; phân biệt xung khắc với độc lập; đếm biến cố trên không gian mẫu.

Kiến thức nền: tập hợp, biến cố và xác suất cổ điển.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Biến cố hợp và giao

$A \cup B$ xảy ra khi ít nhất một trong A, B xảy ra, kể cả khi cả hai cùng xảy ra. $A \cap B$ xảy ra khi A và B cùng xảy ra. Có thể kí hiệu giao là AB. Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì A,B xung khắc: không thể cùng xảy ra.

Biến cố đối và cách đếm

Biến cố đối $\overset{―}{A}$ xảy ra khi A không xảy ra. $A \cup \overset{―}{A} = Ω$ , $A \cap \overset{―}{A} = \emptyset$ . Trong mô hình hữu hạn có các kết quả đồng khả năng, $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$ . Phải xác định các kết quả có thực sự đồng khả năng trước khi dùng cách đếm.

Ghi nhớ: độc lập khác xung khắc

Hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra một biến cố không làm thay đổi xác suất xảy ra biến cố kia. Với hai biến cố, dấu hiệu số học là $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Hai biến cố có xác suất dương mà xung khắc thì không độc lập, vì giao có xác suất 0 nhưng tích xác suất dương. Không tự coi hai thao tác là độc lập khi lấy vật không hoàn lại.

Sơ đồ mô tả quan hệ tập hợp, không biểu diễn diện tích tỉ lệ với xác suất. Độc lập phải xét bằng dữ kiện của phép thử.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Liệt kê trên xúc xắc

Gieo một xúc xắc cân đối. A: số chẵn; B: số lớn hơn 3. Tìm hợp và giao.

$A = {2, 4, 6}$ , $B = {4, 5, 6}$ .
$A \cup B = {2, 4, 5, 6}$ , $A \cap B = {4, 6}$ .
$P (A \cup B) = 4 / 6 = 2 / 3$ , $P (A \cap B) = 2 / 6 = 1 / 3$ .

Ví dụ 2. Kiểm tra độc lập

Cùng phép thử trên, A là số chẵn, C là số chia hết cho 3. A,C có độc lập không?

$P (A) = 1 / 2$ , $P (C) = 2 / 6 = 1 / 3$ .
$A \cap C = {6}$ nên xác suất giao bằng $1 / 6$ .
Vì $1 / 6 = (1 / 2) (1 / 3)$ nên A,C độc lập.

Ví dụ 3. Nhận diện xung khắc

Gieo một xúc xắc cân đối. A là ra số 1, B là ra số 2. Hai biến cố có độc lập không?

Chúng xung khắc: không thể đồng thời ra 1 và 2.
$P (A \cap B) = 0$ trong khi $P (A) P (B) = 1 / 36$ .
Do đó không độc lập.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

“Hoặc” trong hợp cho phép cả hai cùng xảy ra.
Xung khắc không đồng nghĩa độc lập.
Lấy không hoàn lại thường làm thay đổi xác suất lượt sau.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Chọn đều một số từ 1 đến 4. A là số chẵn. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?

Xem lời giải

Biến cố đối gồm các số lẻ, có 2 phần tử.

Bài tự luyện 2

Chọn đều một số từ 1 đến 6. A là số chẵn. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?

Xem lời giải

Biến cố đối gồm các số lẻ, có 3 phần tử.

Bài tự luyện 3

Chọn đều một số từ 1 đến 8. A là số chẵn. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?

Xem lời giải

Biến cố đối gồm các số lẻ, có 4 phần tử.

Bài tự luyện 4

Chọn đều một số từ 1 đến 10. A là số chẵn. Biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử?

Xem lời giải

Biến cố đối gồm các số lẻ, có 5 phần tử.

Bài tự luyện 5

Gieo xúc xắc cân đối. A: số chẵn; B: số chia hết cho 3. Liệt kê A,B và kiểm tra độc lập.

Xem lời giải

$A = {2, 4, 6}$ , $B = {3, 6}$ , giao là ${6}$ . $P (A) = 1 / 2$ , $P (B) = 1 / 3$ , $P (A B) = 1 / 6 = P (A) P (B)$ . Hai biến cố độc lập.

Bài tự luyện 6

Một hộp có 2 bi đỏ, 2 bi xanh. Rút hai bi liên tiếp không hoàn lại. A: lần đầu đỏ; B: lần sau đỏ. Giải thích vì sao A,B không độc lập.

Xem lời giải

$P (B) = 1 / 2$ do đối xứng. Biết lần đầu đỏ thì chỉ còn 1 bi đỏ trong 3 bi, xác suất lần sau đỏ là $1 / 3$ . Việc A xảy ra làm đổi xác suất của B nên không độc lập. Cũng có $P (A B) = (2 / 4) (1 / 3) = 1 / 6 \neq 1 / 4$ .

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.