Ôn tập 20 phút Toán 12 chuyên đề 1 – Đinh Thiện Lý 2026–2027

Đọc nhanh trước khi làm đề: xác định đại lượng cần tối ưu, viết điều kiện của biến, tìm các điểm cần kiểm tra, rồi kết luận kèm đơn vị. Hai nhóm trọng tâm là quy hoạch tuyến tính và vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu.

1. Quy hoạch tuyến tính: tìm đỉnh, kiểm tra điều kiện, tính mục tiêu

Hàm mục tiêu thường có dạng \(F=ax+by\). Miền phương án \(Ω\) gồm tất cả các điểm thỏa mãn đồng thời các bất phương trình.

Quy trình 4 bước

1. Đổi mỗi bất phương trình thành phương trình đường biên để xác định các giao điểm.
2. Thế tọa độ từng giao điểm vào toàn bộ hệ; bỏ các điểm không thuộc miền phương án.
3. Nếu miền là một đa giác kín, tính \(F\) tại các đỉnh và so sánh.
4. Đọc đúng yêu cầu: đề hỏi giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của \(F\), hay hỏi \(x\), \(y\), diện tích hoặc số sản phẩm tại phương án tối ưu?

Với miền đa giác kín, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mục tiêu tuyến tính luôn đạt tại ít nhất một đỉnh. Khi hai đỉnh kề nhau cùng cho giá trị tối ưu, mọi điểm trên cạnh nối chúng cũng tối ưu. Với miền không bị chặn, cần kiểm tra riêng khả năng \(F\) tăng hoặc giảm vô hạn; không kết luận chỉ từ hình dáng miền.

Mẹo trắc nghiệm

• Các dấu \(\leq,\geq\) cho phép lấy điểm trên biên; các dấu \(<,>\) không cho lấy biên tương ứng.
• Giao điểm của hai đường thẳng chưa chắc là một đỉnh hợp lệ: luôn thử lại những điều kiện còn lại.
• Dùng hệ phương trình hai ẩn trên máy để tìm giao điểm; dùng phép thế để tính \(F\). Chức năng Inequality một biến không thay thế việc xác định miền của hệ hai biến.
• Với một cụm 5 câu dùng chung hệ, lập một bảng đỉnh và giá trị \(F\) rồi dùng cho cả cụm.

Ví dụ: so sánh giá trị tại các đỉnh

Vậy \(\max F=3\) tại \(B\), còn \(\min F=1\) tại \(C\).

Mẹo chặn trực tiếp khi miền không bị chặn

Nếu \(3x+5y\geq20,\ y\geq0\) thì

Điểm \((20/3;0)\) còn thỏa \(2x+y\geq8\), nên \(\min F=20\). Trên tia \(y=0,\ x\geq20/3\), \(F=3x\) tăng không giới hạn; vì vậy không có giá trị lớn nhất.

2. Tối ưu một biến: điều kiện, đạo hàm, biên, kết luận

Với \(f\) liên tục trên đoạn \([a;b]\), cần so sánh giá trị tại hai đầu mút và các điểm bên trong mà \(f'(x)=0\) hoặc \(f’\) không tồn tại nhưng \(f\) vẫn xác định.

Nhớ dấu đạo hàm: \(+\to-\) là cực đại; \(-\to+\) là cực tiểu. Một nghiệm \(f'(x)=0\) chưa đủ để kết luận cực trị, và cực trị chưa chắc là giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên toàn miền.

Ví dụ chuyển động: \(s(t)=6t^2-t^3,\ 0\leq t\leq4\).

Do đó vận tốc lớn nhất là \(12\ \mathrm{m/s}\), đạt tại \(t=2\) giây. Câu hỏi “tại thời điểm nào” trả lời \(2\) giây; câu hỏi “vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu” trả lời \(12\ \mathrm{m/s}\).

3. Công thức nhanh cho các bài hình học và vật liệu

Cắt bốn góc tấm vuông rồi gấp hộp không nắp

Tấm vuông cạnh \(a\), mỗi hình vuông bị cắt có cạnh \(x\):

Thể tích lớn nhất khi \(\boxed{x=a/6}\), bằng \(\boxed{V_{\max}=2a^3/27}\). Cạnh đáy của hộp lúc đó là \(2a/3\), không phải \(a/3\).

Tam giác vuông có cạnh huyền cố định

Gọi hai cạnh góc vuông là \(u,v>0\), cạnh huyền là \(c\). Từ \(u^2+v^2=c^2\) và \(2uv\leq u^2+v^2\):

Dấu bằng khi \(u=v=c/\sqrt2\). Với \(c=5\ \mathrm{cm}\), diện tích lớn nhất là \(25/4=6{,}25\ \mathrm{cm^2}\).

Bể hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp \(k\) lần chiều rộng

Đặt chiều rộng \(x>0\), chiều dài \(kx\), chiều cao \(h>0\). Khi tổng diện tích kính là \(S\):

Thể tích đạt lớn nhất khi \(\boxed{x=\sqrt{S/(3k)}}\). Chỉ áp dụng công thức này khi đúng mô hình không nắp, diện tích kính cố định và bỏ qua phần ghép.

Chi phí có dạng \(C(x)=\alpha x^2+\beta/x\)

Với \(\alpha,\beta>0,\ x>0\):

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại giá trị này nên đó là điểm chi phí thấp nhất. Nếu nắp hở một phần \(r\) diện tích, diện tích vật liệu của nắp bằng \((1-r)\) lần diện tích đáy. Lập mô hình đúng trước khi dùng công thức.

4. Đường đi qua một bờ thẳng: khi nào dùng phản xạ?

Hai điểm \(A,B\) ở cùng phía một đường thẳng, cách đường đó lần lượt \(a,b>0\); khoảng cách giữa hai hình chiếu vuông góc là \(L\). Gọi \(M\) là điểm trên đường thẳng cần đi qua.

Lấy \(A’\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng. Vì \(AM=A’M\), độ dài \(AM+MB\) nhỏ nhất khi \(A’,M,B\) thẳng hàng:

Nếu biết trực tiếp \(AB=d\), trước tiên tính \(L=\sqrt{d^2-(b-a)^2}\).

Với các số \(d=615,\ a=118,\ b=487\):

Làm tròn đến hàng đơn vị được \(780\ \mathrm m\).

Nếu các đoạn có tốc độ hoặc chi phí trên mỗi mét khác nhau, phải tối ưu tổng thời gian/chi phí tương ứng; không dùng ngay công thức phản xạ của tổng độ dài.

5. Casio d/dx: tính đạo hàm tại một điểm

d/dx cho một giá trị số gần đúng \(f'(a)\), không xuất ra công thức \(f'(x)\). Dùng để kiểm tra tốc độ tại một thời điểm hoặc kiểm tra dấu đạo hàm gần phương án trắc nghiệm. Số rất nhỏ gần 0 cần được xem cùng dấu hai phía và điều kiện bài toán.

Casio fx-580VN X

1. Mở MENU, chọn Calculate.
2. Nhấn SHIFT rồi phím tích phân \(\int\) để gọi mẫu d/dx.
3. Nhập biểu thức theo biến \(x\); chuyển tới ô \(x=\) và nhập điểm cần tính.
4. Nhấn \(=\).

Ví dụ nhập \(\left.\dfrac d{dx}(6x^2-x^3)\right|_{x=2}\), kết quả là \(12\): đây là vận tốc tại \(t=2\), không phải thời điểm vận tốc đạt lớn nhất. Đối chiếu thao tác tại mục “Phép tính vi phân” trong hướng dẫn Casio fx-580VN X.

Casio fx-880BTG

Mở HOME → Calculate, rồi CATALOG → Func Analysis → Derivative(d/dx). Nhập hàm và điểm \(x=a\), sau đó nhấn EXE. Với biểu thức trên và \(a=2\), kết quả cũng là \(12\). Tham khảo hướng dẫn Derivative(d/dx) của Casio.

Trong các bài này, dùng biến \(x\) trên máy thay cho \(t\) nếu cần. Luôn giữ đúng đơn vị của biến; nếu đề cho \(t\) bằng phút thì 30 giây phải nhập \(0{,}5\). Với hàm lượng giác khi tính đạo hàm, đặt đơn vị góc Radian.

6. Tìm điểm tối ưu bằng TABLE và SOLVE/Solver

Ví dụ trong Đề 4: làm đường qua hai miền

Bước 1 – Dò vùng nghiệm bằng bảng giá trị. Dùng TABLE với \(T(x)\), Start \(=0\), End \(=25\), Step \(=1\). Sau đó có thể thu hẹp từ 4 đến 6, Step \(=0{,}1\). Bảng giúp nhận ra điểm thấp gần \(x=5\).

• fx-580VN X: MENU → Table; nhập hàm và lần lượt điền Start, End, Step. Xem hướng dẫn TABLE.
• fx-880BTG: HOME → Table; trong TOOLS chọn Define f(x)/g(x) để khai báo hàm, rồi Table Range để đặt khoảng và bước. Xem hướng dẫn Table.

Bước 2 – Kiểm tra bằng d/dx.

Ba giá trị này giúp dò và kiểm tra; để chứng minh duy nhất một điểm nhỏ nhất trên cả đoạn, dùng biểu thức đạo hàm hoặc đạo hàm cấp hai.

Bước 3 – Giải phương trình đạo hàm nếu điểm tối ưu chưa hiện rõ. Viết

Nhập biểu thức này bằng 0; chọn giá trị ban đầu gần 5.

• fx-580VN X: trong Calculate, nhập phương trình, nhấn SHIFT → CALC (SOLVE), nhập giá trị ban đầu cho \(x\) và thực hiện giải. Hướng dẫn SOLVE.
• fx-880BTG: HOME → Equation → Solver; nhập phương trình, chọn biến cần tìm là \(x\), nhập giá trị ban đầu rồi Execute. Hướng dẫn Solver.

Máy cho \(x\approx5\). SOLVE/Solver tìm nghiệm số theo phương pháp Newton; một lần giải không bảo đảm tìm hết các nghiệm. Nghiệm thu được vẫn phải nằm trong miền của bài toán.

Bước 4 – Kiểm tra và kết luận. Ở ví dụ này,

Vì \(T'(5)=0\), \(T\) nhỏ nhất tại \(x=5\). Kiểm tra thêm:

Vậy thời gian ngắn nhất làm tròn đến hàng phần trăm là \(\boxed{1{,}49\ \text{giờ}}\).

Dò TABLE cho kết quả gần đúng trên các điểm đã thử; không bỏ bước kiểm tra đạo hàm và hai đầu mút khi kết luận trên cả một khoảng.

7. Làm trắc nghiệm nhanh trong 20 phút

• Phút 0-1: xem toàn đề; khoanh các cụm dùng chung dữ kiện và đánh dấu đơn vị.
• Phút 1-7: xử lý cụm quy hoạch tuyến tính; lập một bảng đỉnh dùng cho nhiều câu.
• Phút 7-17: làm các bài tối ưu một biến; ưu tiên công thức ngắn, đối xứng hoặc hoàn thành bình phương khi phù hợp. Dùng máy để tính và kiểm tra.
• Phút 17-20: rà câu chưa làm; kiểm tra đề hỏi “giá trị” hay “thời điểm”, dấu max/min, đơn vị và quy tắc làm tròn.

Giữ kết quả đầy đủ trong máy đến bước cuối. Với câu trả lời ngắn, nhập đúng đơn vị được yêu cầu; chẳng hạn “hàng phần trăm” là hai chữ số sau dấu phẩy, còn làm tròn tiền đến hàng nghìn phải làm tròn trên số tiền tính bằng đồng.

Tự kiểm tra nhanh

Chọn câu trả lời trong đầu, sau đó mở phần đáp án để kiểm tra.

Làm lần lượt Đề 1 đến Đề 5

Trong công cụ PDF, chọn “Có chỗ làm bài” nếu muốn chừa dòng để viết.