Ôn tập đạo hàm Toán 12: 7 dạng giữa kỳ 1 có lời giải

Dạng 1. Xét đồng biến, nghịch biến từ đồ thị đạo hàm

Công thức cốt lõi: Trên khoảng có \(f'(x)>0\), hàm số \(f\) đồng biến; trên khoảng có \(f'(x)<0\), hàm số \(f\) nghịch biến.

Cách làm nhanh: Xác định đúng tên đồ thị là \(f\) hay \(f’\). Nếu cho \(y=f'(x)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành thì \(f\) tăng; phía dưới thì \(f\) giảm. Tại điểm \(f'(x)=0\) phải xem đạo hàm có đổi dấu hay không; chạm trục mà không đổi dấu thì chưa có cực trị.

Ví dụ: \(f'(x)=(x+2)(x-1)\). Tích dương khi \(x<-2\) hoặc \(x>1\); tích âm khi \(-2<x<1\). Suy ra \(f\) đồng biến trên \((-\infty;-2)\), \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-2;1)\).

Dễ sai: Thấy đồ thị đạo hàm đang đi xuống rồi kết luận hàm gốc nghịch biến. Hai việc này không tương đương.

Dạng 2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn

Với hàm liên tục trên đoạn \([a;b]\), tính đạo hàm \(f’\); tìm điểm tới hạn trong đoạn (nơi \(f’=0\) hoặc đạo hàm không xác định nhưng hàm vẫn xác định); so sánh giá trị hàm số ở những điểm đó cùng hai đầu mút.

Ví dụ: \(f(x)=x^3-3x^2+1\) trên \([-1;3]\). Ta có \(f'(x)=3x(x-2)\). Điểm cần kiểm tra là \(-1,0,2,3\). Khi đó \(f(-1)=-3\), \(f(0)=1\), \(f(2)=-3\), \(f(3)=1\). Vậy giá trị lớn nhất bằng \(1\), nhỏ nhất bằng \(-3\).

Mẹo tiết kiệm thời gian: Lập bảng 2 cột “điểm kiểm tra” và “giá trị \(f(x)\)” thay vì khảo sát toàn bộ đồ thị. Không bỏ qua đầu mút; không lấy nghiệm \(f’=0\) nằm ngoài đoạn.

Dạng 3. Đếm nghiệm phương trình từ đồ thị bậc ba, bậc bốn

\(f(x)=c\) có số nghiệm thực phân biệt đúng bằng số giao điểm của đồ thị \(y=f(x)\) với đường thẳng ngang \(y=c\). Với \([f(x)]^2=m\) và \(m>0\), đổi thành hai phương trình \(f(x)=\sqrt m\) và \(f(x)=-\sqrt m\); đếm giao điểm của cả hai đường ngang. Nếu \(m=0\), chỉ đếm \(f(x)=0\) một lần; nếu \(m<0\), phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: \(f(x)=x^3-3x\), có cực đại \(2\), cực tiểu \(-2\). Với \([f(x)]^2=1\), hai đường \(y=1\), \(y=-1\) đều cắt đồ thị tại ba điểm; phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt.

Mẹo: Trước khi đếm, ghi nhanh hai mức \(\pm\sqrt m\); không được nhầm \(f^2(x)\) với \(f(x^2)\).

Dạng 4. Tiệm cận xiên của phân thức

Nếu \(\deg P=\deg Q+1\), chia \(P(x)\) cho \(Q(x)\) được \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=ax+b+\dfrac{r(x)}{Q(x)}\), trong đó \(\deg r<\deg Q\). Khi \(x\to\pm\infty\), số dư chia cho \(Q\) tiến về 0; tiệm cận xiên là \(y=ax+b\).

Ví dụ: \(\dfrac{x^2+3x-2}{x-1}=x+4+\dfrac{2}{x-1}\). Vậy \(a=1,b=4\). Nếu yêu cầu tính \(a^2+2b\) thì \(1^2+2\cdot4=\boxed{9}\).

Tính nhanh: Với mẫu \(x-d\), hệ số \(a\) là hệ số \(x^2\) ở tử, còn \(b\) bằng hệ số \(x\) ở tử cộng \(ad\). Luôn kiểm tra lại dấu của \(d\).

Dạng 5. Tối đa hóa lợi nhuận – có thuế và chi phí

Gọi \(x\) là số sản phẩm bán được, doanh thu \(R(x)\), thuế doanh thu \(t\) (ví dụ 6% thì \(t=0{,}06\)), chi phí biến đổi \(cx\), chi phí cố định \(F\). Lợi nhuận: \(P(x)=(1-t)R(x)-cx-F\).

Nếu \(R(x)=ax-bx^2\) với \(b>0\) thì \(P(x)=-[(1-t)b]x^2+[(1-t)a-c]x-F\). Đỉnh parabol cho \(x_0=\dfrac{(1-t)a-c}{2(1-t)b}\). Sau đó chặn về miền \(0\le x\le N\) và, nếu sản phẩm không chia lẻ, so sánh những số nguyên gần \(x_0\).

Ví dụ theo phiếu: \(R(x)=28x-0{,}006x^2\) (triệu đồng), thuế doanh thu 6%, chi phí 7 triệu đồng mỗi sản phẩm, tối đa 2.500 sản phẩm. Khi ấy \(P(x)=0{,}94R(x)-7x=19{,}32x-0{,}00564x^2\). Đỉnh tại \(x_0\approx1712{,}77\); đối chiếu hai số nguyên \(1712\) và \(1713\), lợi nhuận lớn hơn tại 1.713 sản phẩm.

Tránh nhầm: Không trừ thuế 6% trên lợi nhuận; đề quy định thuế là phần trăm doanh thu. Đơn vị của \(x\), \(R(x)\), \(c\) phải thống nhất.

Dạng 6. Tính vận tốc từ đồ thị bậc ba

Giả sử \(v(t)\) là đa thức bậc ba, có cực đại \(M\) ở \(t=a\), cực tiểu \(m\) ở \(t=b\) (\(a<b\)); khi đó \(v'(t)=k(t-a)(t-b)\). Đặt \(u=\dfrac{t-a}{b-a}\), ta có công thức tính nhanh:

\(v(t)=M+(m-M)(3u^2-2u^3)\).

Ví dụ: Cực đại \(v(1)=4\) km/h, cực tiểu \(v(2)=1\) km/h. Tại \(t=3\), \(u=2\), nên \(v(3)=4+(1-4)(3\cdot2^2-2\cdot2^3)=16\) km/h.

Lưu ý: Chỉ dùng công thức này khi đồ thị thực sự là một hàm bậc ba có hai mốc cực trị như trên. Nếu đề cho mô hình khác, phải lập mô hình tương ứng.

Dạng 7. Hình hộp chữ nhật không nắp – tối thiểu chi phí

Cho thể tích cố định \(V\), chiều rộng \(x>0\), chiều dài \(kx\) (\(k>0\)), chiều cao \(h\). Ta có \(h=\dfrac{V}{kx^2}\). Vì không có nắp, tổng diện tích vật liệu là \(S=kx^2+2(k+1)xh=kx^2+\dfrac{2(k+1)V}{kx}\).

Đạo hàm \(S'(x)=2kx-\dfrac{2(k+1)V}{kx^2}\). Điều kiện \(S’=0\) cho \(x^3=\dfrac{(k+1)V}{k^2}\). Từ đó tính \(x\), chiều dài \(kx\), chiều cao \(h\), rồi chi phí tối thiểu \(cS_{\min}\) nếu giá vật liệu \(c\) đồng/m².

Mẹo: Bể có nắp dùng diện tích \(2kx^2+\dfrac{2(k+1)V}{kx}\), không dùng công thức không nắp. Đề hỏi triệu đồng thì chia kết quả đồng cho \(10^6\).