TOÁN 12 · CHƯƠNG 1 · BÀI 3
Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Học cách tìm tiệm cận đứng, ngang và xiên qua giới hạn và đồ thị – không học mẹo sai.
4 ví dụ có lời giải · 2 câu tự kiểm tra · Bài luyện riêng
🎯 Mục tiêu bài học
📖 Ba loại tiệm cận cần phân biệt
Khi ít nhất một giới hạn một phía của f(x) lúc x → a tiến tới +∞ hoặc −∞.
Nếu lim khi x → +∞ hoặc −∞ của f(x) bằng số hữu hạn b.
Đường xiên là tiệm cận nếu khi x → +∞ hoặc −∞ ta có f(x) − (ax + b) → 0.
💭 Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang không?
📈 Nhận diện bằng đồ thị
Xét f(x) = (2x + 1)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1), xác định với x ≠ 1.
Khi x tiến tới 1 từ trái, f(x) → −∞; từ phải, f(x) → +∞. Khi x → ±∞, f(x) → 2.
💭 Vì sao nhánh trái nằm dưới y = 2?
Với x < 1, số 3/(x − 1) âm nên f(x) < 2. Với x > 1, số đó dương nên f(x) > 2. Kiểm tra dấu này giúp em phát hiện ngay một đồ thị vẽ ngược nhánh.
💡 Bốn ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1. Hai tiệm cận của hàm hữu tỉ
Cho f(x) = (2x + 1)/(x − 1). Viết f(x) = 2 + 3/(x − 1). Từ đó thấy rõ:
Ví dụ 2. Điểm khuyết, không phải tiệm cận đứng
Cho g(x) = (x² − 1)/(x − 1), với x ≠ 1. Rút gọn được g(x) = x + 1 trên miền xác định.
Do lim khi x → 1 của g(x) bằng 2 (hữu hạn), x = 1 không là tiệm cận đứng. Đồ thị có điểm khuyết tại (1; 2).
Vì sao phải giữ điều kiện x ≠ 1 sau rút gọn?
Ví dụ 3. Chia đa thức tìm tiệm cận xiên
Cho f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Ta chia đa thức được:
Do 2/(x − 1) → 0 khi x → ±∞, tiệm cận xiên là y = x + 1. Mặt khác x = 1 là tiệm cận đứng vì tử tại x = 1 bằng 2.
💡 Công thức tìm nhanh hệ số tiệm cận xiên
Nếu các giới hạn hữu hạn tồn tại ở cùng một phía vô cực, tính lần lượt:
Với a ≠ 0, đường cần tìm là y = ax + b. Ở ví dụ này, a = 1 và b = 1. Khi phân thức chia được đa thức, phép chia thường giúp thấy kết quả nhanh hơn. Luôn xét riêng phía +∞ và phía −∞ nếu hàm chứa căn hoặc giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 4. Căn thức: xem hai phía vô cực
Xét f(x) = √(x² + 1). Khi x → +∞:
Nên y = x là tiệm cận xiên phía +∞. Khi x → −∞:
Nên y = −x là tiệm cận xiên phía −∞. Nhớ rằng √(x²) = |x|, không phải luôn bằng x.