TOÁN 12 · CHƯƠNG 1 · BÀI 4
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Từ đạo hàm và bảng biến thiên đến đồ thị, nghiệm phương trình và phương trình tiếp tuyến.
Giảng giải · Hình trực quan · Tự kiểm tra · Bài luyện riêng
🎯 Em sẽ làm được gì?
📖 Quy trình khảo sát hàm số
⚠️ Bảng biến thiên quyết định chiều đi và vị trí cực trị; không vẽ đồ thị chỉ bằng cách đoán hình.
📈 Đọc đồ thị từ bảng biến thiên
Xét f(x) = x³ − 3x. Ta có f′(x) = 3(x − 1)(x + 1); dấu đạo hàm lần lượt +, −, + qua −1 và 1.
💭 Tự phát hiện lỗi vẽ đồ thị
Đây là hàm lẻ, nên hai điểm đối xứng qua O phải cùng nằm trên đồ thị. Nếu đồ thị không qua O hoặc hai cực trị không đối xứng qua O thì hình đã sai, dù có đủ ba nhánh tăng – giảm – tăng.
💡 Sáu ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1. Khảo sát hàm bậc ba
Khảo sát và vẽ đồ thị y = x³ − 3x.
Ví dụ 2. Khảo sát hàm phân thức
Cho y = (x + 1)/(x − 1) = 1 + 2/(x − 1).
📈 Xem đồ thị và kiểm tra vị trí hai nhánh
Ví dụ 3. Đọc số nghiệm x³ − 3x = m
Mỗi nghiệm thực tương ứng với một giao điểm của đồ thị y = x³ − 3x và đường thẳng ngang y = m. Em thử đưa đường thẳng lên trên, vào giữa, rồi xuống dưới hai mức cực trị 2 và −2.
💡 Xem cách đếm và trường hợp dễ nhầm
| Điều kiện của m | Số nghiệm | Vì sao |
|---|---|---|
| −2 < m < 2 | 3 | Đường ngang cắt cả ba nhánh. |
| m = −2 hoặc m = 2 | 2 | Một giao điểm là điểm cực trị; còn một giao điểm trên nhánh khác. |
| m < −2 hoặc m > 2 | 1 | Đường ngang chỉ cắt một nhánh ngoài. |
Kiểm tra m = 2: x³ − 3x − 2 = (x − 2)(x + 1)². Chỉ có hai nghiệm phân biệt x = 2 và x = −1; nghiệm kép vẫn chỉ tính một giá trị x.
Ví dụ 4. Viết tiếp tuyến
Viết tiếp tuyến của y = x³ − 3x tại điểm có hoành độ x₀ = 2.
💭 Cần tìm hai thông tin nào?
Tìm tọa độ tiếp điểm A(2; f(2)) và hệ số góc k = f′(2). Hoành độ 2 không phải tung độ hay hệ số góc.
Kiểm nhanh: thay x = 2 vào đường thẳng được y = 2, đúng tiếp điểm.
Ví dụ 5. Phân thức bậc hai trên bậc nhất
Cho y = (x² + 1)/(x − 1), D = ℝ ∖ {1}. Phép chia cho:
Suy ra tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = x + 1. Khi x → 1⁻, y → −∞; khi x → 1⁺, y → +∞.
💡 Xem đầy đủ bước tìm cực trị
Vì (x − 1)² > 0 trên miền xác định, dấu y′ là dấu của (x − 1)² − 2. Giải y′ = 0 được x = 1 − √2 hoặc x = 1 + √2.
| Khoảng | Dấu y′ | Chiều |
|---|---|---|
| (−∞; 1 − √2) | + | Đồng biến |
| (1 − √2; 1) | − | Nghịch biến |
| (1; 1 + √2) | − | Nghịch biến |
| (1 + √2; +∞) | + | Đồng biến |
Dấu + → − cho cực đại (1 − √2; 2 − 2√2); dấu − → + cho cực tiểu (1 + √2; 2 + 2√2). Không được gộp hai khoảng nghịch biến qua x = 1.
Đồ thị cắt Oy tại (0; −1), không cắt Ox vì x² + 1 > 0 với mọi x. Dùng các điểm cực trị và hai tiệm cận để xác định vị trí mỗi nhánh.
Ví dụ 6. Hàm trùng phương
Cho y = x⁴ − 2x², D = ℝ. Hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy. Đạo hàm y′ = 4x(x − 1)(x + 1) bằng 0 tại −1, 0, 1.
Dấu y′ lần lượt −, +, −, + trên các khoảng (−∞; −1), (−1; 0), (0; 1), (1; +∞). Có hai cực tiểu (−1; −1), (1; −1) và một cực đại địa phương (0; 0).
Khi x → ±∞, y → +∞. Giải y = 0 được x²(x² − 2) = 0, nên các giao điểm với Ox có hoành độ −√2, 0, √2.
📈 Xem đồ thị và phân biệt cực đại với GTLN
Hàm không có GTLN trên ℝ vì y → +∞ ở hai phía. GTNN bằng −1, đạt tại x = −1 và x = 1; cũng có thể thấy từ y = (x² − 1)² − 1.