TOÁN 12 · CHƯƠNG 1 · BÀI 5
Bài 5: Ứng dụng đạo hàm trong thực tiễn
Từ bài toán thực tế đến hàm mục tiêu, xét đạo hàm, tìm đáp án đúng miền và đúng đơn vị.
Giảng giải · Hình trực quan · Tự kiểm tra · Bài luyện riêng
🎯 Em sẽ làm được gì?
📖 Quy trình giải toán thực tế bằng đạo hàm
📌 Đáp án cuối cùng không chỉ là x: phải ghi kích thước, sản lượng hoặc thời điểm tương ứng.
📐 Hàng rào ba cạnh
Có 40 m hàng rào để rào ba cạnh của mảnh đất hình chữ nhật sát một bức tường đủ dài. Cạnh sát tường không cần rào. Gọi cạnh vuông góc tường là x (m), cạnh còn lại là y (m).
Cả hai kích thước phải dương: x > 0 và 40 − 2x > 0, nên 0 < x < 20.
Từ đây, bài toán hình học trở thành bài tìm GTLN của một hàm theo x. Hãy thử giải trước khi xem Ví dụ 1.
💡 Bốn ví dụ sát thực tế
Ví dụ 1. Tối ưu diện tích hàng rào
Với mô hình ở trên, cần tìm GTLN của S(x) = 40x − 2x² trên (0; 20).
Trả lời: hai cạnh vuông góc tường dài 10 m, cạnh còn lại dài 20 m; diện tích lớn nhất là 200 m². Kiểm tra: 10 + 10 + 20 = 40 m.
💡 Kiểm tra bằng một cách ngắn khác
Dấu bằng đạt khi x = 10, thuộc miền (0; 20). Kết quả khớp với cách dùng đạo hàm.
Ví dụ 2. Hộp không nắp từ bìa vuông
Cắt ở bốn góc một tấm bìa vuông cạnh 30 cm bốn hình vuông cạnh x cm, rồi gấp các mép để tạo hộp không nắp. Bỏ qua độ dày bìa và phần ghép mép.
💭 Thử tính V′ trước khi mở lời giải
Dùng đạo hàm tích và hàm hợp:
Trong miền (0; 15), thừa số 30 − 2x luôn dương. Vì thế V′ dương khi x < 5, âm khi x > 5, nên V đạt GTLN tại x = 5.
Nghiệm x = 15 của V′ = 0 bị loại: lúc đó cạnh đáy bằng 0, không tạo thành hộp.
Trả lời: cắt các hình vuông cạnh 5 cm. Hộp cao 5 cm, đáy 20 × 20 cm, thể tích lớn nhất V(5) = 2000 cm³.
Ví dụ 3. Tối ưu lợi nhuận
Một mô hình bán hàng cho giá bán p(q) = 100 − q (nghìn đồng/sản phẩm) và tổng chi phí C(q) = 20q + 300 (nghìn đồng). Sản lượng q là số nguyên, 0 ≤ q ≤ 100; giả sử toàn bộ q sản phẩm đều được bán.
Trả lời: bán 40 sản phẩm, giá 60 nghìn đồng/sản phẩm. Doanh thu 2400 nghìn đồng, chi phí 1100 nghìn đồng, lợi nhuận lớn nhất 1300 nghìn đồng (1,3 triệu đồng).
💭 Nếu nghiệm tối ưu không nguyên thì làm sao?
Với hàm lợi nhuận dạng parabol quay xuống như ví dụ này, hãy so sánh hai số nguyên kề nghiệm tối ưu mà vẫn thuộc miền; không làm tròn tùy ý rồi kết luận. Vẫn kiểm tra các đầu mút nếu miền thực tế yêu cầu.
Ví dụ 4. Vận tốc có dấu, tốc độ không âm
Một vật chuyển động trên một trục có tọa độ s(t) = t³ − 3t² (m), với thời gian 0 ≤ t ≤ 3 (s). Tìm tốc độ lớn nhất trong khoảng thời gian này.
💡 Vì sao cần kiểm tra t = 0, 1, 2, 3?
Trên [0; 2], v(t) ≤ 0 nên w(t) = −3t² + 6t. Khi 0 < t < 2, w′(t) = 6 − 6t bằng 0 tại t = 1.
Trên [2; 3], v(t) ≥ 0 nên w(t) = 3t² − 6t, tăng trên đoạn này. Tại t = 2, vận tốc đổi dấu nên tốc độ có một điểm gấp khúc và vẫn cần xét. Cộng thêm hai đầu mút 0 và 3, ta có đủ bốn ứng viên.
| t (s) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| w(t) (m/s) | 0 | 3 | 0 | 9 |
Trả lời: tốc độ lớn nhất bằng 9 m/s tại t = 3 s. Vận tốc âm trong 0 < t < 2 chỉ biểu thị vật chuyển động theo chiều âm của trục.