Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

🎯 Học xong, em có thể

📖 Hai điều kiện của giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

⚠️ Có cận trên hoặc cận dưới chưa đủ. Phải có ít nhất một điểm thuộc miền làm hàm nhận được giá trị ấy.

📊 Quy trình trên đoạn đóng

Nếu f liên tục trên [a; b] thì GTLN và GTNN luôn tồn tại. Với các hàm thường gặp trong bài học, hãy kiểm tra đầu mút, điểm dừng và điểm không có đạo hàm nhưng hàm vẫn xác định.

Ví dụ, với f(x) = x³ − 3x + 1 trên [−2; 2], bốn điểm cần so sánh là −2, −1, 1, 2:

💡 Bốn ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. GTLN và GTNN trên [−2; 2]

Cho f(x) = x³ − 3x + 1.

Ví dụ 2. Khoảng mở và giá trị không đạt

Cho f(x) = x² trên khoảng (−1; 2). Vì x² ≥ 0 với mọi x và 0 thuộc miền nên GTNN = 0 tại x = 0.

Trên miền này, x² < 4. Khi x tiến tới 2 từ trái, x² tiến gần 4 tùy ý nhưng không đạt 4, nên không có GTLN.

Ví dụ 3. Điểm không khả vi vẫn phải xét

Cho f(x) = |x − 1| trên [0; 3]. Hàm không có đạo hàm tại 1 nhưng vẫn liên tục. Ta có f(0) = 1; f(1) = 0; f(3) = 2.

Kết luận: GTNN = 0 tại x = 1 và GTLN = 2 tại x = 3.

Ví dụ 4. Đổi biến phải đổi cả miền

Tìm GTLN, GTNN của sin²x − 2sin x trên ℝ. Đặt t = sin x, khi đó t thuộc [−1; 1] và g(t) = t² − 2t = (t − 1)² − 1.

Ta có g′(t) = 2t − 2 ≤ 0 trên [−1; 1], nên g giảm trên đoạn này. So sánh g(−1) = 3 và g(1) = −1.

GTLN = 3 khi sin x = −1, tức x = −π/2 + 2kπ. GTNN = −1 khi sin x = 1, tức x = π/2 + 2kπ, với k ∈ ℤ.

Nếu đổi biến, nhớ đổi cả tập giá trị của biến mới. Bỏ bước này rất dễ kết luận sai.

🧠 Sơ đồ ghi nhớ

Nhớ: “Có chặn + Có đạt” mới là lớn nhất/nhỏ nhất.

🎯 Hai câu hỏi trước khi luyện tập

✏️ Luyện tập ngay

Chọn bộ câu hỏi phù hợp để luyện tập và xem lời giải. Hãy bắt đầu với mức cơ bản, sau đó thử phần vận dụng.