Thư viện › Toán 12 › Chương 1 › Bài 1

TOÁN 12 · CHƯƠNG 1 · BÀI 1

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Đọc hiểu dấu đạo hàm, nhìn đồ thị và tự luyện ngay sau mỗi ví dụ.

Học từng bước – nhớ bằng hình – kiểm tra bằng câu hỏi.

🎯 Học xong, em sẽ làm được gì?

① Hiểu bản chấtPhân biệt hàm đồng biến và nghịch biến qua dấu đạo hàm.

② Biết giải bàiTìm điểm tới hạn, lập bảng xét dấu và bảng biến thiên.

③ Tự phát hiện lỗiKhông nhầm nghiệm đạo hàm với điểm cực trị.

📖 Kiến thức trọng tâm

Hãy tưởng tượng đi từ trái sang phải trên đồ thị. Đường cong đi lên thì giá trị hàm số tăng; đi xuống thì giảm. Đạo hàm giúp nhận biết điều đó bằng tính toán.

↗ Hàm đồng biến

Nếu hàm số có đạo hàm và f′(x) > 0 trên khoảng K, hàm số đồng biến trên K.

↘ Hàm nghịch biến

Nếu f′(x) < 0 trên khoảng K, hàm số nghịch biến trên K.

f′(x) > 0 ⇒ tăng · f′(x) < 0 ⇒ giảm

Nhớ kỹ: f′(x₀) = 0 chỉ cho biết x₀ là điểm dừng. Muốn xét cực trị bằng dấu đạo hàm, cần xem dấu của f′ ở hai phía x₀. Đạo hàm không đổi dấu thì chưa có cực trị theo tiêu chuẩn này.

Cực trị theo dấu đạo hàm

Giả sử f liên tục tại x₀, có đạo hàm ở hai phía trong một lân cận của x₀. Dấu + → − khi đi qua x₀: cực đại tại x₀. Dấu − → +: cực tiểu tại x₀.

Phân biệt: x₀ là điểm cực trị của hàm số; f(x₀) là giá trị cực trị; (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị trên đồ thị.

💭 Thử nghĩ: f′(x₀) = 0 luôn có cực trị?

Không. Ví dụ g(x) = x³, ta có g′(0) = 0 nhưng g đồng biến trên toàn ℝ và không có cực trị tại 0.

📈 Nhìn đồ thị và bảng biến thiên

Xét f(x) = x³ − 3x + 1. Đi từ trái sang phải, em sẽ thấy đồ thị tăng, giảm, rồi tăng. Đặc biệt, cực tiểu có tung độ −1 nên phải nằm dưới trục Ox.

Đồ thị được tính từ hàm số trên cùng hệ trục: cực đại (−1; 3), cực tiểu (1; −1) và giao Oy tại (0; 1).

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)

Bảng biến thiên: dấu + → − tại x = −1 cho cực đại 3; dấu − → + tại x = 1 cho cực tiểu −1. Các mũi tên đọc từ trái sang phải.

💭 Nếu f′(x) = 0, em đã được kết luận cực trị chưa?

Chưa. Cần xét dấu của đạo hàm ở hai phía. Trong bảng này, đạo hàm đổi dấu ở cả −1 và 1 nên cả hai đều là điểm cực trị.

💡 Bốn ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Xét đơn điệu và cực trị

Cho f(x) = x³ − 3x + 1. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.

Bước 1 – Đạo hàm: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).

Bước 2 – Xét dấu: f′ dương trên (−∞; −1) và (1; +∞), âm trên (−1; 1).

Bước 3 – Kết luận: Đồng biến trên (−∞; −1), (1; +∞); nghịch biến trên (−1; 1). Cực đại (−1; 3), cực tiểu (1; −1).

📌 Vì sao x = −1 là điểm cực đại?

Vì khi đi qua x = −1, f′ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm chuyển từ tăng sang giảm.

Ví dụ 2. Đạo hàm bằng 0 chưa chắc là cực trị

Với g(x) = x³, g′(x) = 3x² ≥ 0. Dấu g′ không chuyển từ + sang − hoặc ngược lại khi qua 0.

Kết quả: g đồng biến trên ℝ; x = 0 là điểm dừng nhưng không phải cực trị.

Ví dụ 3. Không được gộp khoảng qua điểm loại

Cho h(x) = 1/(x − 1), tập xác định ℝ ∖ {1}.

Ta có h′(x) = −1/(x − 1)² < 0 với x ≠ 1. Vậy h nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞), nhưng không được kết luận nghịch biến trên toàn ℝ ∖ {1}.

💭 Vì sao không được nối hai khoảng qua x = 1?

Chọn 0 < 2 nhưng h(0) = −1 < h(2) = 1. Cặp này không thỏa điều kiện của hàm nghịch biến. Dấu h′ < 0 chỉ cho kết luận trên từng khoảng không chứa điểm loại x = 1.

Ví dụ 4. Bài toán tham số

Tìm m để f(x) = x³ − 3mx đồng biến trên ℝ.

Bước 1 – Điều kiện cần: f′(x) = 3(x² − m). Nếu f đồng biến trên ℝ thì f′(0) = −3m ≥ 0, suy ra m ≤ 0.

Bước 2 – Kiểm tra đủ: Với m < 0, ta có x² − m > 0 với mọi x nên f′ > 0. Với m = 0, f(x) = x³ vẫn đồng biến trên ℝ.

Kết luận: m ≤ 0. Không được loại trường hợp m = 0 chỉ vì đạo hàm bằng 0 tại một điểm.

⚠️ Vì sao m = 0 vẫn được nhận?

f′(x) = 3x² không âm trên ℝ và chỉ bằng 0 tại x = 0, nên f(x) = x³ vẫn đồng biến nghiêm ngặt. Nếu chỉ dùng điều kiện f′ > 0 ở mọi điểm thì sẽ loại nhầm trường hợp này.

🧠 Sơ đồ tư duy ghi nhớ

1. Miền xác địnhĐánh dấu mọi điểm hàm không xác định.

2. Đạo hàmTính f′(x), tìm nghiệm f′(x) = 0 hoặc nơi không xác định.

3. Xét dấuChia khoảng, xác định + / − và hướng biến thiên.

4. Kết luậnĐồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu và tọa độ.

🟡 Mẹo nhớ: Miền → Đạo hàm → Xét dấu → Kết luận.

🎯 Em đã hiểu bài chưa?

Câu 1. Hàm y = x⁴ có cực trị tại x = 0 không? Không, vì y′(0) = 0 Có, đó là điểm cực tiểu

✅ Xem đáp án và lý do

Đáp án: Có cực tiểu tại x = 0, vì y′ = 4x³ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua 0.

Câu 2. f′ dương ở hai phía x = 2 nhưng f′(2) = 0. f có cực trị tại 2 không? Có, vì đạo hàm bằng 0 Không, vì không đổi chiều

✅ Xem đáp án và lý do

Đáp án: Không, nếu f liên tục và vẫn tăng ở hai phía thì f không đổi chiều biến thiên.

✏️ Luyện tập – bài làm riêng

Sau khi đọc lý thuyết, chọn đúng bộ câu hỏi phù hợp. Các nút bên dưới mở trực tiếp hệ thống Học & Thi, có thể xem lời giải và kết quả.

🌱 Bài tập cơ bảnÔn dấu đạo hàm và bảng biến thiên →🎯 Luyện tập cuối bàiKiểm tra mức độ hiểu bài →🚀 Bài vận dụngThử thêm dạng bài khác →📝 Bài tập tự luậnTrình bày đầy đủ các bước →