Vectơ Oxyz Toán 12: Ôn giữa kỳ 1 và tích vô hướng

Dạng 1. Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(x_A;y_A;z_A)\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\). Khi đó \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\).

Ví dụ: \(A(2;-1;5)\), \(B(5;-5;7)\). Từng tọa độ: \(5-2=3\); \(-5-(-1)=-4\); \(7-5=2\). Kết quả \(\boxed{\overrightarrow{AB}=(3;-4;2)}\).

Mẹo: Từ “A tới B” nghĩa là lấy điểm B trừ A. Nếu bài hỏi \(\overrightarrow{BA}\), đổi dấu cả ba tọa độ; không chỉ đổi hai tọa độ đầu.

Dạng 2. Tìm tọa độ M khi biết \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{BM}\) và hệ số

Nếu \(\overrightarrow{AM}=\vec u\) thì \(M=A+\vec u\). Nếu \(\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{AM}\) thì \(M-B=\lambda(M-A)\), suy ra với \(\lambda\neq1\):

\(M=\dfrac{B-\lambda A}{1-\lambda}\) (thực hiện theo từng tọa độ). Khi \(\lambda=1\), đẳng thức chỉ có thể đúng nếu \(A=B\); nếu \(A\ne B\), không có điểm M phù hợp.

Ví dụ: \(A(2;-1;5)\), \(B(5;-5;7)\), \(\overrightarrow{BM}=-2\overrightarrow{AM}\). Thay \(\lambda=-2\), suy ra \(M=\dfrac{B+2A}{3}\), nên \(M=(3;-\frac73;\frac{17}3)\).

Tính nhanh: Khi \(\lambda=-2\), nhớ ngay công thức \(3M=B+2A\). Khi \(\lambda=\frac12\), nhớ \(M=2B-A\). Không được bỏ dấu âm của \(\lambda\).

Dạng 3. Tìm điều kiện để ba điểm A, B, M thẳng hàng

Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương \(\overrightarrow{AB}\), tức là tồn tại số thực \(t\) thỏa:

\(\boxed{M=A+t(B-A)}\).

Ví dụ: \(A(1;2;-1)\), \(B(3;6;5)\) và \(M(x;y;2)\). Khi ấy \(B-A=(2;4;6)\). Vì \(2=-1+6t\) nên \(t=\frac12\). Suy ra \(x=1+2(\frac12)=2\), \(y=2+4(\frac12)=4\). Vậy \(M(2;4;2)\).

Mẹo: Chọn tọa độ có dữ kiện sẵn để tìm \(t\) trước rồi thế sang hai tọa độ còn lại; ngắn hơn lập ba tỉ số ngay từ đầu, nhất là khi một thành phần vectơ bằng 0.

Dạng 4. Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Nếu \(\vec u=(u_1;u_2;u_3)\), \(\vec v=(v_1;v_2;v_3)\), thì \(\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\).

Ví dụ: \(\vec u=(2;-1;3)\), \(\vec v=(-1;4;2)\), suy ra \(\vec u\cdot\vec v=2(-1)+(-1)4+3(2)=-2-4+6=0\). Vì cả hai vectơ khác vectơ-không nên chúng vuông góc.

Nhớ nhanh: Không tính độ dài nếu đề chỉ hỏi tích vô hướng; làm ba phép nhân rồi cộng. Nếu đề hỏi \(\cos\theta\) mới chia cho tích độ dài.

Dạng 5. Tính tích vô hướng trong hình lập phương bằng tọa độ chuẩn

Đặt hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a>0\), chọn:
\(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A'(0;0;a)\); khi ấy \(C(a;a;0)\), \(B'(a;0;a)\), \(C'(a;a;a)\), \(D'(0;a;a)\). Ba trục theo ba cạnh xuất phát từ A đôi một vuông góc.

Ví dụ: Gọi \(M\) là trung điểm \(B’C’\) và \(N\) là trung điểm \(A’D’\). Ta có \(M(a;\frac a2;a)\), \(N(0;\frac a2;a)\). Vì \(\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{MN}=(-a;0;0)\), nên \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MN}=-a^2\).

Mẹo tính nhanh khi đề cho trung điểm: Viết tọa độ tám đỉnh bằng \(0\) và \(a\); trung điểm chỉ thêm \(a/2\). Tính vectơ rồi nhân từng tọa độ, đỡ phải dùng góc của các đường chéo không gian.

Mẹo không dùng tọa độ: Biểu diễn \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), dùng \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\), \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=a\). Vì vậy \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=a^2\).

Chú ý dấu: \(\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{NM}\); đổi hướng một vectơ thì tích vô hướng đổi dấu. Đây là lỗi thường gặp nhất với hình lập phương.