Toán 12 Chương 2: Vectơ và tọa độ trong không gian

Bài 1 · Toán 12 · Chương 2

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Trong bài này, u, v và →AB chỉ vectơ; dấu |u| hoặc |→AB| chỉ độ dài. Phép cộng vectơ cần xét cả hướng, không chỉ độ lớn.

Khái niệm và phép toán

Vectơ →AB có điểm đầu A, điểm cuối B; độ dài |→AB| là độ dài đoạn AB. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài, không cần cùng vị trí. Vectơ-không có độ dài 0. →AB = −→BA; quy tắc ba điểm →AB + →BC = →AC đúng với mọi A,B,C, kể cả không tạo thành tam giác.

Tổng hai vectơ cùng gốc được biểu diễn bằng đường chéo hình bình hành. Trong hình hộp, tổng ba vectơ cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh bằng vectơ đường chéo không gian xuất phát từ đỉnh đó. Hiệu u−v=u+(−v); tích k·u có độ dài |k|·|u|, cùng hướng u khi k>0, ngược hướng khi k<0.

Tích vô hướng

→u·→v=|→u||→v|cosθ với θ∈[0;π] là góc giữa hai vectơ khác 0; quy ước tích vô hướng bằng 0 nếu một vectơ bằng 0. →u·→u=|→u|². Với hai vectơ khác 0, u⊥v khi và chỉ khi u·v=0. Tích vô hướng có tính phân phối và giao hoán, nhưng kết quả là một số, khác tổng hoặc tích số với vectơ.

Trung điểm và trọng tâm

Nếu I là trung điểm AB thì →OI=→OA+→OB2 với gốc O bất kì. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì →OG=→OA+→OB+→OC3 và →GA+→GB+→GC=→0. Trọng tâm bốn đỉnh tứ diện có vectơ vị trí bằng trung bình bốn vectơ vị trí khi bài dùng khái niệm đó.

Phương pháp và ghi nhớ

Chọn ba vectơ cạnh làm cơ sở mô tả hình, dùng quy tắc ba điểm để đưa mọi vectơ về cùng các hướng. Muốn tính độ dài một tổng, bình phương bằng tích vô hướng rồi khai triển, thay độ dài và cos góc đã biết. Đổi →BA thành −→AB trước khi tính; góc giữa vectơ có thể bù với góc giữa hai đường thẳng.

Không áp dụng quy tắc cộng độ dài |→u+→v|=|→u|+|→v| trừ khi hai vectơ cùng hướng hoặc có trường hợp 0 phù hợp.

Ví dụ giải từng bước

Sơ đồ tư duy cuối bài 1

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 2 · Toán 12 · Chương 2

Bài 2. Tọa độ vectơ trong không gian

Hệ tọa độ

Hệ Oxyz có ba vectơ đơn vị i,j,k đôi một vuông góc. u=(a;b;c) nghĩa là u=a i+b j+c k. Điểm M(x;y;z) nghĩa là →OM = (x;y;z). Tọa độ điểm phụ thuộc gốc; tọa độ một vectơ biểu diễn độ dịch chuyển theo ba hướng và không phải tọa độ riêng của điểm cuối nếu điểm đầu khác O.

Nếu A(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂) thì →AB = (x₂−x₁;y₂−y₁;z₂−z₁). Do đó →BA = −→AB. Trung điểm I có tọa độ (x₁+x₂2;y₁+y₂2;z₁+z₂2). Trọng tâm tam giác là trung bình tọa độ ba đỉnh. Điểm đối xứng của A qua I là A′=2I−A theo từng tọa độ.

Vị trí trong hệ trục

M thuộc mặt phẳng Oxy khi z=0; thuộc Oxz khi y=0; thuộc Oyz khi x=0. M thuộc trục Ox khi y=z=0; các trục khác tương tự. Hình chiếu vuông góc lên Oxy giữ x,y và đặt z=0; hình chiếu lên Ox giữ x và đặt y=z=0. Đối xứng qua một mặt phẳng tọa độ đổi dấu tọa độ vuông góc với mặt phẳng đó; đối xứng qua O đổi cả ba dấu.

Phương pháp

Bài tìm điểm từ đẳng thức vectơ: chuyển mỗi vectơ thành hiệu tọa độ rồi so sánh từng thành phần. Với điểm chia đoạn AB theo tỉ số AM:MB=m:n (m,n>0, M nằm trong đoạn), M=nA+mBm+n; hệ số đi với A là n, không phải m.

Có thể dùng dạng tham số M=A+t(B−A), 0≤t≤1 cho đoạn AB; t ngoài đoạn mô tả điểm trên đường thẳng nhưng ngoài đoạn.

Ghi nhớ

Tọa độ âm không có nghĩa độ dài âm. Chọn hệ trục trong hình hộp phải ghi ba hướng và độ dài đơn vị; không gán vectơ cạnh là vectơ đơn vị khi cạnh không dài 1. Giữ thứ tự x,y,z và phép trừ “cuối trừ đầu”.

Ví dụ giải từng bước

Sơ đồ tư duy cuối bài 2

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 3 · Toán 12 · Chương 2

Bài 3. Biểu thức tọa độ các phép toán vectơ

Công thức

Với u=(a;b;c), v=(d;e;f): u+v=(a+d;b+e;c+f), u−v=(a−d;b−e;c−f), k u=(ka;kb;kc). u·v=ad+be+cf; |→u|=√a²+b²+c². Khoảng cách AB=√(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)².

Nếu u,v khác 0 thì cosθ=→u·→v|→u||→v|; θ là góc giữa hai vectơ từ 0 đến π. u⊥v tương đương u·v=0 khi xét hai hướng khác 0. Hai vectơ cùng phương khi tồn tại số k để u=k v (v≠0); nên giải theo thành phần thay vì viết dãy tỉ số có mẫu có thể bằng 0.

Các dạng chính

Tìm tọa độ còn thiếu: chuyển đẳng thức vectơ thành hệ ba phương trình. Chứng minh A,B,C thẳng hàng: kiểm →AB và →AC cùng phương, đồng thời chú ý các điểm có phân biệt hay không. Chứng minh vuông góc: tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương.

Tính góc ở đỉnh B của tam giác ABC: dùng →BA và →BC, không dùng →AB với →BC vì có thể cho góc bù.

Tìm điểm M trên đường thẳng thỏa khoảng cách: đặt M=A+t u, thay vào bình phương khoảng cách và giải t. Với đường thẳng vuông góc mặt phẳng tọa độ, hướng của nó theo trục còn lại. Bài tổng hợp hình học có thể chọn Oxyz tại đỉnh có ba cạnh vuông góc để đơn giản tọa độ; phải giải thích cách đặt trước khi tính.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Tích vô hướng có thể âm; độ dài không âm. Không rút căn từng số hạng trong tổng bình phương. Góc giữa hai đường thẳng lấy góc không tù, thường dùng |u·v| trong tử số; góc giữa hai vectơ giữ dấu. Khi dùng máy arccos, đối số phải nằm trong [−1;1], sai lệch lớn cho thấy tính toán hoặc tọa độ sai, không được tùy ý ép giá trị.

Ví dụ giải từng bước

Sơ đồ tư duy cuối bài 3

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.