Đến nội dung chính
Tư vấn: 0946 99 62 68Thứ 2 - 7 8:00 - 18:00
Zalo tư vấn ↗Địa chỉ & liên hệ
Gia Sư SVGia Sư SVTận tâm · Minh bạch · Đồng hành
Gọi tư vấn

Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm

Gia Sư SV · Học hiểu từng bước

Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm

Năm bài học từ dấu đạo hàm đến bài toán tối ưu: lý thuyết dễ tra cứu, 22 ví dụ có lời giải, đồ thị minh họa và sơ đồ tư duy riêng cho từng bài.

Kiến thức cần có: tập xác định, quy tắc đạo hàm, giải phương trình và xét dấu. Khi chưa chắc, hãy ôn kiến thức nền Toán 12 trước.

Bài 1 · Toán 12 · Chương 1

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Học xong bài này: biết xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên và phân biệt điểm dừng với cực trị.

1. Hiểu dấu đạo hàm trước khi học thuộc

Đi từ trái sang phải trên đồ thị: đường cong đi lên nghĩa là hàm đồng biến; đi xuống nghĩa là hàm nghịch biến. Đạo hàm giúp xác định chiều đi này một cách chính xác.

Dấu đạo hàm và chiều biến thiên
Trên khoảng KDấu của f′Kết luận
Hàm có đạo hàm trên Kf′(x) > 0 với mọi x ∈ KĐồng biến
Hàm có đạo hàm trên Kf′(x) < 0 với mọi x ∈ KNghịch biến
Hàm có đạo hàm trên Kf′(x) = 0 với mọi x ∈ KHàm không đổi

Theo định nghĩa, f đồng biến trên K khi x1 < x2 luôn kéo theo f(x1) < f(x2). Với nghịch biến, bất đẳng thức giữa hai giá trị hàm đảo chiều.

Chú ý điểm bằng 0: f′ có thể bằng 0 tại một số điểm mà hàm vẫn đồng biến. Chẳng hạn f(x) = x³ đồng biến trên ℝ dù f′(0) = 0. Điều kiện f′ > 0 là điều kiện đủ, không phải điều kiện bắt buộc tại mọi điểm.

2. Cực trị: nhìn sự đổi dấu, không chỉ giải f′ = 0

Nhận biết cực trị tại x₀
Dấu f′ qua x₀Chiều biến thiênLoại cực trị
+ → −Tăng rồi giảmCực đại
− → +Giảm rồi tăngCực tiểu
+ → + hoặc − → −Không đổi chiềuKhông có cực trị tại điểm đó theo bảng dấu

Quy tắc đổi dấu dùng khi f liên tục tại x0 và có đạo hàm ở hai phía đủ gần x0. Phân biệt hoành độ cực trịx0, giá trị cực trị f(x0) và điểm cực trị trên đồ thị (x0; f(x0)). Cực trị là tính chất lân cận, chưa phải tối ưu trên toàn miền.

3. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1.1. Xét đơn điệu và tìm cực trị

Cho f(x) = x3 − 3x + 1.

  1. Tập xác định D = ℝ. Tính f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
  2. Giải f′(x) = 0 được x = −1 và x = 1. Xét dấu: dương ngoài hai nghiệm, âm giữa hai nghiệm.
  3. Tính f(−1) = 3 và f(1) = −1. Đạo hàm đổi + → − tại −1, đổi − → + tại 1.

Kết luận: đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞); nghịch biến trên (−1; 1). Cực đại tại (−1; 3), cực tiểu tại (1; −1).

Bảng biến thiên của f(x) = x³ − 3x + 1
x−∞−11+∞
f′(x)+0−0+
f(x)−∞↗3↘−1↗+∞
f(x) = x³ − 3x + 1f(x) = x³ − 3x + 1xy-2-112-4-2246Cực đại (−1; 3)Cực tiểu (1; −1)Đọc từ trái sang phải • Đối chiếu với dấu đạo hàm
Hai điểm đổi chiều của đồ thị tương ứng hai lần đổi dấu của f′. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ 1.2. Nghiệm đạo hàm chưa chắc là cực trị

Xét g(x) = x3.

  1. g′(x) = 3x2 ≥ 0; đạo hàm chỉ bằng 0 tại x = 0.
  2. Dấu g′ ở hai phía 0 đều dương. Hàm tăng liên tục qua 0.

Kết luận: g đồng biến trên ℝ và không có cực trị.

Ví dụ 1.3. Không gộp khoảng qua điểm loại

Xét h(x) = 1x−1.

  1. D = ℝ ∖ {1}; h′(x) = −1(x−1)2 < 0 với mọi x ≠ 1.
  2. Chia miền thành (−∞; 1) và (1; +∞), xét từng khoảng riêng.

Kết luận: h nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞); không viết nghịch biến trên cả ℝ ∖ {1}.

Ví dụ 1.4. Tham số để hàm đồng biến

Tìm m để f(x) = x3 − 3mx đồng biến trên ℝ.

  1. f′(x) = 3(x2 − m). Để đạo hàm không âm với mọi x, cần và đủ m ≤ 0.
  2. Nếu m < 0 thì f′ > 0. Nếu m = 0, hàm x3 vẫn đồng biến. Nếu m > 0, f′ < 0 gần x = 0.

Kết luận: m ≤ 0.

Mở rộng: đạo hàm cấp hai và điểm không khả vi

Nếu f′(x0) = 0 và f″ liên tục gần x0, thì f″(x0) > 0 cho cực tiểu; f″(x0) < 0 cho cực đại. Khi f″(x0) = 0, cần xét thêm, không kết luận ngay.

Hàm f(x) = |x| có cực tiểu tại 0 dù không có đạo hàm tại đó. Nếu một điểm cực trị ở trong miền và đạo hàm tồn tại, f′(x0) = 0 là điều kiện cần.

Tổng quát, f′ ≥ 0 trên một khoảng và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ khoảng con nào thì f đồng biến nghiêm ngặt. Trường hợp f′ ≤ 0 tương tự. Với tham số, không chia cho biểu thức chưa biết dấu; cần tách trường hợp bằng 0.

Lỗi dễ mất điểm: nhầm đồ thị f′ với đồ thị f; chỉ ghi x mà quên tính f(x); thử vài giá trị rồi kết luận dấu trên cả khoảng.

Sơ đồ tư duy cuối bài 1

Sơ đồ tư duy bài 1: ĐƠN ĐIỆU & CỰC TRỊĐƠN ĐIỆU & CỰC TRỊMiền xác địnhTách khoảng tại điểm hàm không xác định.Không nối hai nhánh qua tiệm cận.Dấu đạo hàmf′ > 0: tăng • f′ < 0: giảm.f′ = 0 tại một điểm: chưa kết luận.Đổi dấu qua x₀+ → −: cực đại • − → +: cực tiểu.Tính thêm f(x₀) để có tọa độ.Trình tự làm bàiMiền → đạo hàm → xét dấu → bảng biến thiên.Kết luận đúng từng khoảng và từng điểm.
Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.
Đọc sơ đồ bằng chữ
  • Miền xác định: Tách khoảng tại điểm hàm không xác định.; Không nối hai nhánh qua tiệm cận..
  • Dấu đạo hàm: f′ > 0: tăng • f′ < 0: giảm.; f′ = 0 tại một điểm: chưa kết luận..
  • Đổi dấu qua x0: + → −: cực đại • − → +: cực tiểu.; Tính thêm f(x0) để có tọa độ..
  • Trình tự làm bài: Miền → đạo hàm → xét dấu → bảng biến thiên.; Kết luận đúng từng khoảng và từng điểm..
Tự kiểm tra trước khi sang bài

  1. Hàm y = x4 có cực trị tại 0 không?
  2. Đồ thị f′ tiếp xúc trục hoành rồi vẫn nằm phía trên: f có cực trị tại đó không?
Xem đáp án tự kiểm tra
  1. Có cực tiểu tại 0: y′ = 4x3 đổi dấu − → +.
  2. Không, nếu f liên tục và f′ dương ở hai phía: f không đổi chiều biến thiên.

Luyện tập bài 1

Chọn mức phù hợp, làm bài rồi đối chiếu cách giải.

↑ Trở về mục lục chươngBài 2.   Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cần người hướng dẫn thêm? Anh/chị có thể liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 2 · Toán 12 · Chương 1

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Học xong bài này: tìm giá trị tối ưu trên đúng miền và giải thích vì sao giá trị ấy đạt được.

1. “Lớn nhất” phải vừa chặn được, vừa đạt được

M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f trên D khi f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và có ít nhất một x0 ∈ D sao cho f(x0) = M. Giá trị nhỏ nhất (GTNN) được định nghĩa tương tự với dấu ≥.

Hai câu hỏi bắt buộc: Có giá trị nào lớn hơn/nhỏ hơn không? Giá trị đang xét có thực sự đạt tại một điểm thuộc miền không?

Ví dụ, f(x) = x trên (0; 1) tiến gần 1 nhưng không đạt 1: hàm không có GTLN. Cực đại chỉ so sánh với các điểm lân cận; GTLN so sánh trên toàn miền.

2. Quy trình trên đoạn [a; b]

Hàm liên tục trên đoạn đóng [a; b] luôn đạt GTLN và GTNN. Với hàm có đạo hàm trừ hữu hạn điểm:

  1. Tìm nghiệm f′(x) = 0 thuộc (a; b).
  2. Bổ sung điểm f′ không tồn tại nhưng f vẫn xác định.
  3. Tính f tại các điểm vừa tìm và tại cả hai đầu mút a, b.
  4. So sánh các giá trị, ghi rõ đạt tại x nào.

Ví dụ 2.1. So sánh đủ điểm trong đoạn và đầu mút

Tìm GTLN, GTNN của f(x) = x3 − 3x + 1 trên [−2; 2].

  1. f′(x) = 3x2 − 3 = 0 ⇒ x = −1 hoặc x = 1, đều thuộc đoạn.
  2. Tính f(−2) = −1; f(−1) = 3; f(1) = −1; f(2) = 3.
  3. So sánh bốn giá trị; có thể có nhiều điểm cùng đạt một giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Kết luận: GTLN là 3 tại x = −1 và x = 2; GTNN là −1 tại x = −2 và x = 1.

Bảng giá trị ứng viên
x−2−112
f(x)−13−13
Vai tròGTNNGTLNGTNNGTLN
Giá trị trên đoạn [−2; 2]Giá trị trên đoạn [−2; 2]xy-2-112-224GTLN = 3GTNN = −1(−2; −1)(−1; 3)(1; −1)(2; 3)Đọc từ trái sang phải • Đối chiếu với dấu đạo hàm
Các điểm đặc ở hai đầu mút đều thuộc miền và phải được so sánh. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

3. Trên khoảng mở: kiểm tra khả năng đạt

Ví dụ 2.2. Giới hạn không phải giá trị đạt được

Xét f(x) = x2 trên (−1; 2).

  1. f′(x) = 2x; f giảm đến 0 rồi tăng. f(0) = 0 và 0 thuộc miền.
  2. Khi x → 2−, f(x) → 4 nhưng x = 2 không thuộc miền. Với mọi x trong miền, f(x) < 4.

Kết luận: GTNN là 0 tại x = 0; không có GTLN. Số 4 là cận trên đúng, không phải GTLN.

Ví dụ 2.3. Điểm không có đạo hàm cũng là ứng viên

Tìm GTLN, GTNN của f(x) = |x − 1| trên [0; 3].

  1. Hàm liên tục trên đoạn nhưng không có đạo hàm tại x = 1.
  2. Trước 1 hàm giảm, sau 1 hàm tăng. So sánh f(0) = 1; f(1) = 0; f(3) = 2.

Kết luận: GTNN là 0 tại x = 1; GTLN là 2 tại x = 3.

Ví dụ 2.4. Đổi biến phải đổi cả miền

Tìm GTLN, GTNN của y = sin2x − 2sin x trên ℝ.

  1. Đặt t = sin x thì −1 ≤ t ≤ 1 và mọi giá trị trong đoạn đều đạt được.
  2. Xét g(t) = t2 − 2t = (t − 1)2 − 1. Trên [−1; 1], g giảm; g(−1) = 3, g(1) = −1.
  3. Đổi về biến ban đầu: sin x = −1 hoặc sin x = 1.

Kết luận: GTLN là 3 khi sin x = −1; GTNN là −1 khi sin x = 1.

Khi nào cần dùng bảng biến thiên hoặc bất đẳng thức?

Trên khoảng mở, nửa khoảng hoặc miền nhiều nhánh, dùng bảng biến thiên và giới hạn ở các đầu mút. Xét từng nhánh, rồi so sánh những giá trị thực sự đạt. Hàm không bị chặn trên hoặc có cận trên nhưng không đạt đều không có GTLN.

Bất đẳng thức có thể cho cách giải ngắn, nhưng phải kiểm điều kiện dấu và điều kiện dấu bằng. Với phép đặt t = g(x), xác định đúng tập giá trị của t; nếu x bị giới hạn thì không tự lấy t ∈ [−1; 1].

Tránh nhầm: GTLN là giá trị f(x), còn “đạt tại” là giá trị x. Không bỏ đầu mút; không nhận nghiệm ngoài miền.

Sơ đồ tư duy cuối bài 2

Sơ đồ tư duy bài 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤTHai điều kiệnChặn được mọi giá trị trên miền.Có ít nhất một điểm thực sự đạt.Trên đoạn đóngLiên tục: luôn có GTLN và GTNN.So đầu mút + điểm dừng + điểm không khả vi.Trên khoảng mởDùng bảng biến thiên và giới hạn.Giới hạn hữu hạn chưa chắc đạt được.Kết luậnGhi giá trị tối ưu và nơi đạt.Kiểm miền, điều kiện dấu bằng và đơn vị.
Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.
Đọc sơ đồ bằng chữ
  • Hai điều kiện: Chặn được mọi giá trị trên miền.; Có ít nhất một điểm thực sự đạt..
  • Trên đoạn đóng: Liên tục: luôn có GTLN và GTNN.; So đầu mút + điểm dừng + điểm không khả vi..
  • Trên khoảng mở: Dùng bảng biến thiên và giới hạn.; Giới hạn hữu hạn chưa chắc đạt được..
  • Kết luận: Ghi giá trị tối ưu và nơi đạt.; Kiểm miền, điều kiện dấu bằng và đơn vị..
Tự kiểm tra trước khi sang bài

  1. y = x trên (0; 1) có GTNN bằng 0 không?
  2. y = x2 trên [−1; 3] đạt GTLN ở đâu?
Xem đáp án tự kiểm tra
  1. Không: 0 không đạt trong miền.
  2. GTLN là 9 tại x = 3; phải xét cả hai đầu mút.

Luyện tập bài 2

Chọn mức phù hợp, làm bài rồi đối chiếu cách giải.

↑ Trở về mục lục chươngBài 3.   Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Cần người hướng dẫn thêm? Anh/chị có thể liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 3 · Toán 12 · Chương 1

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Học xong bài này: tìm đúng tiệm cận đứng, ngang, xiên và tránh nhầm điểm khuyết với tiệm cận đứng.

1. Ba loại tiệm cận cần phân biệt

Tiệm cận mô tả cách đồ thị tiến gần một đường thẳng. Hãy đọc theo đúng hướng giới hạn, thay vì chỉ nhìn hình phác.

Nhận dạng tiệm cận
LoạiPhương trìnhĐiều kiện nhận biết
Đứngx = aÍt nhất một giới hạn một phía tại a bằng +∞ hoặc −∞
Ngangy = bf(x) → b khi x → +∞ hoặc x → −∞
Xiêny = ax + b, a ≠ 0f(x) − (ax + b) → 0 ở một phía vô cực

Với tiệm cận xiên, có thể tính a=limx→±∞f(x)x, rồi b=limx→±∞[f(x)−ax] ở cùng một phía vô cực. Hai giới hạn phải hữu hạn và a ≠ 0. Ở hai phía vô cực có thể xuất hiện hai tiệm cận khác nhau.

2. Ví dụ giải từ cơ bản đến dễ nhầm

Ví dụ 3.1. Một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

Tìm tiệm cận của f(x) = 2x+1x−1.

  1. D = ℝ ∖ {1}. Viết f(x) = 2 + 3x−1.
  2. Khi x → 1−, f(x) → −∞; khi x → 1+, f(x) → +∞.
  3. Khi x → ±∞, 3x−1 → 0 nên f(x) → 2.

Kết luận: tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận ngang y = 2.

f(x) = (2x + 1)/(x − 1)f(x) = (2x + 1)/(x − 1)xy-4-3-2-1123456-4-22468x = 1y = 2Đọc từ trái sang phải • Đối chiếu với dấu đạo hàm
Đường nét đứt là tiệm cận; hai nhánh không đi qua x = 1. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ 3.2. Khử nhân tử chung để nhận điểm khuyết

Xét f(x) = x2−1x−1.

  1. D = ℝ ∖ {1}. Với x ≠ 1, f(x) = x + 1.
  2. Khi x → 1, f(x) → 2, không phải vô cực. Điểm (1; 2) bị loại khỏi đồ thị.

Kết luận: x = 1 không là tiệm cận đứng; đồ thị có điểm khuyết (1; 2).

Ví dụ 3.3. Chia đa thức để tìm tiệm cận xiên

Xét f(x) = x2+1x−1.

  1. Chia đa thức: f(x) = x + 1 + 2x−1.
  2. Khi x → ±∞, f(x) − (x + 1) → 0.
  3. Tại x = 1, tử bằng 2 ≠ 0 và giới hạn một phía phân kỳ.

Kết luận: tiệm cận xiên y = x + 1; tiệm cận đứng x = 1.

Ví dụ 3.4. Căn thức: hai phía vô cực khác nhau

Xét f(x) = √x2+1.

  1. Khi x → +∞, f(x) − x = 1√x2+1+x → 0.
  2. Khi x → −∞, f(x) + x = 1√x2+1−x → 0.
  3. Nhớ √x2 = |x|: khi x âm, |x| = −x.

Kết luận: y = x là tiệm cận xiên phía +∞; y = −x là tiệm cận xiên phía −∞.

3. Mẹo cho hàm hữu tỉ P(x)/Q(x)

  • Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu: tiệm cận ngang y = 0.
  • Hai bậc bằng nhau: tiệm cận ngang là tỉ số hệ số dẫn đầu.
  • Bậc tử hơn bậc mẫu đúng 1: chia đa thức để lấy đường tiệm cận xiên.
  • Mẫu bằng 0: chỉ là vị trí cần kiểm tra; phải rút gọn và tính giới hạn.
Đừng học sai: đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang hoặc xiên. Tiệm cận nói đến hành vi ở xa, không có nghĩa hai đường “không bao giờ gặp nhau”.
Lưu ý khi có tham số hoặc miền xác định bị giới hạn

Xét trường hợp hệ số bậc cao nhất bằng 0 trước khi so sánh bậc. Chỉ xét +∞ hoặc −∞ nếu miền xác định chứa các điểm đi về phía đó. Với căn thức, nhân liên hợp và giữ đúng dấu giá trị tuyệt đối.

Sơ đồ tư duy cuối bài 3

Sơ đồ tư duy bài 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬNĐƯỜNG TIỆM CẬNTiệm cận đứngXét giới hạn một phía tại điểm biên.Ít nhất một phía tiến tới ±∞.Tiệm cận ngangXét f(x) khi x → +∞ và x → −∞.Giới hạn b hữu hạn → đường y = b.Tiệm cận xiênTách f(x) = ax + b + phần dư → 0.a ≠ 0; kiểm riêng từng phía vô cực.Kiểm lỗiMẫu bằng 0 chưa đủ; chú ý điểm khuyết.√(x²) = |x|; không bỏ miền xác định.
Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.
Đọc sơ đồ bằng chữ
  • Tiệm cận đứng: Xét giới hạn một phía tại điểm biên.; Ít nhất một phía tiến tới ±∞..
  • Tiệm cận ngang: Xét f(x) khi x → +∞ và x → −∞.; Giới hạn b hữu hạn → đường y = b..
  • Tiệm cận xiên: Tách f(x) = ax + b + phần dư → 0.; a ≠ 0; kiểm riêng từng phía vô cực..
  • Kiểm lỗi: Mẫu bằng 0 chưa đủ; chú ý điểm khuyết.; √x2 = |x|; không bỏ miền xác định..
Tự kiểm tra trước khi sang bài

  1. f(x) = x+2x−3 có tiệm cận nào?
  2. Nếu lim f(x) khi x → a bằng 5 thì x = a có là tiệm cận đứng không?
Xem đáp án tự kiểm tra
  1. Đứng x = 3; ngang y = 1.
  2. Không. Tiệm cận đứng cần ít nhất một giới hạn một phía vô cực.

Luyện tập bài 3

Chọn mức phù hợp, làm bài rồi đối chiếu cách giải.

↑ Trở về mục lục chươngBài 4.   Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Cần người hướng dẫn thêm? Anh/chị có thể liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 4 · Toán 12 · Chương 1

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Học xong bài này: tự khảo sát, vẽ đồ thị có căn cứ và dùng đồ thị để đếm nghiệm, viết tiếp tuyến.

1. Khảo sát là ghép những dữ kiện đã học

Đồ thị đúng phải thống nhất với tập xác định, đạo hàm, cực trị và giới hạn. Một vài điểm tính bằng máy chỉ hỗ trợ phác hình, không thay các bước khảo sát.

  1. Miền xác định: loại nghiệm mẫu bằng 0; kiểm điều kiện căn, logarit nếu có.
  2. Đạo hàm: tìm điểm dừng, xét dấu và cực trị.
  3. Giới hạn: xét ở biên miền, ở vô cực; tìm tiệm cận.
  4. Bảng biến thiên: ghép đúng dấu, giá trị, chiều mũi tên.
  5. Đồ thị: đánh dấu giao trục, cực trị, tiệm cận, đối xứng nếu có; vẽ theo bảng.

Ví dụ 4.1. Khảo sát đầy đủ một hàm bậc ba

Khảo sát y = x3 − 3x.

  1. D = ℝ. Hàm lẻ vì f(−x) = −f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.
  2. f′(x) = 3x2 − 3. Đạo hàm bằng 0 tại −1, 1; dương ngoài hai nghiệm, âm ở giữa.
  3. f(−1) = 2; f(1) = −2. Khi x → −∞, f(x) → −∞; khi x → +∞, f(x) → +∞.
  4. Giao Ox: x(x2 − 3) = 0 ⇒ x = −√3, 0, √3. Giao Oy tại O.

Kết luận: đồ thị đi lên đến (−1; 2), đi xuống đến (1; −2), rồi đi lên; không có tiệm cận đứng, ngang hay xiên.

Bảng biến thiên của y = x³ − 3x
x−∞−11+∞
f′(x)+0−0+
f(x)−∞↗2↘−2↗+∞
y = x³ − 3x: đọc hình từ bảng biến thiêny = x³ − 3x: đọc hình từ bảng biến thiênxy-2-112-4-224(−1; 2)(1; −2)OĐọc từ trái sang phải • Đối chiếu với dấu đạo hàm
Đồ thị đối xứng qua O, cắt Ox tại −√3, 0, √3 và có hai điểm cực trị. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ 4.2. Khảo sát hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Xét y = x+1x−1.

  1. D = ℝ ∖ {1}; viết y = 1 + 2x−1.
  2. y′ = −2(x−1)2 < 0: nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞), không có cực trị.
  3. Tiệm cận đứng x = 1, ngang y = 1. Khi x → 1−, y → −∞; khi x → 1+, y → +∞.
  4. Giao Ox tại (−1; 0), giao Oy tại (0; −1). Giao hai tiệm cận I(1; 1) là tâm đối xứng.

Kết luận: vẽ hai nhánh riêng, mỗi nhánh đi xuống từ trái sang phải và tiến gần các tiệm cận.

Ví dụ 4.3. Đọc số nghiệm qua đồ thị

Biện luận số nghiệm của x3 − 3x = m.

  1. Vế trái là hàm trong Ví dụ 4.1. Số nghiệm bằng số giao điểm với đường ngang y = m.
  2. Hai mức cực trị là 2 và −2; xét vị trí của m so với hai mức ấy.

Kết luận: −2 < m < 2: có 3 nghiệm phân biệt; m = ±2: có 2 nghiệm phân biệt; |m| > 2: có 1 nghiệm.

Ví dụ 4.4. Viết tiếp tuyến tại một điểm

Viết tiếp tuyến của y = x3 − 3x tại x0 = 2.

  1. Tính y0 = f(2) = 2 và f′(2) = 9.
  2. Áp dụng y = f′(x0)(x − x0) + f(x0): y = 9(x − 2) + 2.

Kết luận: tiếp tuyến y = 9x − 16, đi qua (2; 2) và có hệ số góc 9.

Công thức tổng quát thường dùng

Hàm bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0, có tâm đối xứng với hoành độ −b3a. Đạo hàm là tam thức bậc hai; số nghiệm và dấu đạo hàm quyết định số cực trị.

Với f(x) = ax+bcx+d, c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0: f′(x) = ad−bc(cx+d)2; tiệm cận đứng x = −dc, ngang y = ac. Nếu ad − bc = 0, xét dạng rút gọn riêng. Với phân thức bậc hai/bậc nhất, chia đa thức trước để thấy tiệm cận xiên.

Nếu đề cho hệ số góc tiếp tuyến k, giải f′(x0) = k, rồi tính f(x0). Khi đếm giao điểm, loại điểm khuyết và phân biệt nghiệm kép với số nghiệm phân biệt.

Kiểm hình trong 20 giây: nhánh tăng có đúng nơi f′ dương? Cực trị đúng tọa độ? Đồ thị có đi qua điểm bị loại? Đường tiệm cận đã vẽ nét đứt?

Các dạng đồ thị cần nhận biết

Ôn dạng bậc nhất, bậc hai trước khi đọc các đồ thị phân thức và trùng phương. Các đường nét đứt thể hiện tiệm cận hoặc trục đối xứng; không phải một phần của đồ thị hàm số.

Hàm bậc nhất và hàm bậc hai

y=ax+b (a≠0) là đường thẳng: tăng khi a>0, giảm khi a<0. Parabol y=ax2+bx+c (a≠0) có trục đối xứng x=−b2a; mở lên khi a>0, mở xuống khi a<0.

−3−2−10123x−4−20246y(0; 1)(−1/2; 0)Hàm bậc nhất: y = 2x + 1
Đường thẳng y = 2x + 1 đi qua (0; 1) và (−1/2; 0).
−2−101234x−4−20246yĐỉnh I(1; −4)(−1; 0)(3; 0)Hàm bậc hai: y = x² − 2x − 3
Parabol y = x² − 2x − 3 có đỉnh I(1; −4), trục x = 1 và hai giao điểm với Ox tại x = −1, x = 3.

Phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Đối chiếu Ví dụ 4.2: y=x+1x−1. Hai nhánh giảm trên từng khoảng xác định, không nối qua x=1. Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1;1) làm tâm đối xứng.

−4−20246x−4−20246yyxx=+−11(−1; 0)(0; −1)Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhấtTiệm cận x = 1Tiệm cận y = 1
Hai nhánh của y = (x + 1)/(x − 1); tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1.

Ví dụ 4.5. Phân thức bậc hai trên bậc nhất

Khảo sát y=x2+1x−1=x+1+2x−1. Miền xác định D=R⧵{1}.

y′=1−2(x−1)2=(x−1)2−2(x−1)2. Đạo hàm bằng 0 tại x=1−√2 và x=1+√2.

Hàm tăng trên (−∞;1−√2) và (1+√2;+∞); giảm trên (1−√2;1) và (1;1+√2). Cực đại (1−√2;2−2√2); cực tiểu (1+√2;2+2√2).

Tiệm cận đứng x=1; tiệm cận xiên y=x+1. Tử x2+1>0 nên đồ thị không cắt Ox.

−4−20246x−6−4−20246810yyxx=−+112Cực đạiCực tiểuHàm phân thức bậc hai trên bậc nhấtTiệm cận xiên y = x + 1Tiệm cận đứng x = 1
Đồ thị y = (x² + 1)/(x − 1), đúng hai nhánh và hai cực trị; không nối qua tiệm cận đứng.

Ví dụ 4.6. Hàm trùng phương bậc bốn

Xét y=x4−2x2. Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. Có y′=4x(x2−1) nên các điểm tới hạn là x=−1,0,1.

Dấu đạo hàm lần lượt là −, +, −, + trên bốn khoảng chia bởi −1, 0, 1. Hai cực tiểu tại (−1;−1), (1;−1); cực đại tại (0;0). Hàm tiến tới +∞ ở cả hai đầu.

Với dạng tổng quát y=ax4+bx2+c (a≠0), y′=2x(2ax2+b). Nếu ab<0 có ba cực trị; nếu ab≥0 có một cực trị tại 0. Dấu của a quyết định hai nhánh ngoài hướng lên hay xuống.

−1.5−1.0−0.50.00.51.01.5x−10123456yCực đại (0; 0)Cực tiểu (−1; −1)Cực tiểu (1; −1)Đối xứng qua trục OyHàm trùng phương: y = x⁴ − 2x²
Hàm trùng phương y = x⁴ − 2x² có dạng chữ W, hai cực tiểu và một cực đại; đối xứng qua Oy.

Sơ đồ tư duy cuối bài 4

Sơ đồ tư duy bài 4: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊKHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊDữ kiện đầu vàoTập xác định; tính đối xứng nếu có.Đạo hàm, nghiệm và dấu đạo hàm.Khung của đồ thịCực trị; giới hạn; các tiệm cận.Lập bảng biến thiên trước khi vẽ.Hoàn thiện hìnhGiao trục; điểm đặc biệt; hai nhánh tách biệt.Hình phải thống nhất với bảng biến thiên.Khai thác đồ thịf(x) = m: đếm giao với đường y = m.Tiếp tuyến: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.
Đọc sơ đồ bằng chữ
  • Dữ kiện đầu vào: Tập xác định; tính đối xứng nếu có.; Đạo hàm, nghiệm và dấu đạo hàm..
  • Khung của đồ thị: Cực trị; giới hạn; các tiệm cận.; Lập bảng biến thiên trước khi vẽ..
  • Hoàn thiện hình: Giao trục; điểm đặc biệt; hai nhánh tách biệt.; Hình phải thống nhất với bảng biến thiên..
  • Khai thác đồ thị: f(x) = m: đếm giao với đường y = m.; Tiếp tuyến: y = f′(x0)(x − x0) + f(x0)..
Tự kiểm tra trước khi sang bài

  1. y = x3 − 3x = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
  2. Tiếp tuyến của y = x3 − 3x tại x = 0 là gì?
Xem đáp án tự kiểm tra
  1. Có 3 nghiệm: −√3, 0, √3.
  2. y = −3x, vì f(0) = 0 và f′(0) = −3.

Luyện tập bài 4

Chọn mức phù hợp, làm bài rồi đối chiếu cách giải.

↑ Trở về mục lục chươngBài 5.   Ứng dụng đạo hàm trong thực tiễn

Cần người hướng dẫn thêm? Anh/chị có thể liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 5 · Toán 12 · Chương 1

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm trong thực tiễn

Học xong bài này: lập đúng mô hình một biến, tìm tối ưu và diễn giải đáp số đúng điều kiện thực tế.

1. Từ câu chuyện thực tế đến một hàm số

Điểm khó thường nằm ở việc chọn biến và lập hàm, trước cả bước tính đạo hàm. Hãy viết rõ đại lượng cần tối ưu: diện tích, thể tích, lợi nhuận, khoảng cách hay tốc độ.

  1. Chọn biến, ghi đơn vị và miền hợp lý.
  2. Dùng điều kiện đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại.
  3. Lập hàm mục tiêu theo một biến.
  4. Dùng đạo hàm, bảng biến thiên và đầu mút phù hợp để tìm tối ưu.
  5. Trả lời bằng lời; kiểm đơn vị, kích thước dương và điều kiện nguyên nếu có.

Ví dụ 5.1. Hàng rào ba cạnh: vì sao không chia đều?

Có 40 m hàng rào để rào ba cạnh của một khu đất hình chữ nhật sát bức tường thẳng. Tìm diện tích lớn nhất.

  1. Gọi x (m) là cạnh vuông góc tường. Hai cạnh này dùng 2x m; cạnh còn lại dài 40 − 2x m. Điều kiện: 0 < x < 20.
  2. Diện tích S(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x2.
  3. S′(x) = 40 − 4x = 0 ⇒ x = 10. Đạo hàm dương trước 10, âm sau 10 nên diện tích đạt lớn nhất ở 10.
  4. Cạnh dọc tường dài 40 − 2·10 = 20 m; S(10) = 200 m2.

Kết luận: hai cạnh vuông góc tường dài 10 m, cạnh còn lại dài 20 m; diện tích lớn nhất 200 m2.

Hàng rào ba cạnh: hai cạnh x và một cạnh 40 − 2xBỨC TƯỜNG — không rào cạnh nàyxx40 − 2xS(x) = x(40 − 2x)0 < x < 20Tối ưu: 10 m × 20 m → 200 m²
Chỉ ba cạnh cần hàng rào. Nếu viết chu vi 2x + 2y = 40 thì đã mô hình hóa sai đề. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ 5.2. Gấp hộp không nắp từ tấm bìa

Từ tấm bìa vuông cạnh 30 cm, cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh x rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm thể tích lớn nhất.

  1. Hộp có chiều cao x, đáy vuông cạnh 30 − 2x; điều kiện 0 < x < 15.
  2. V(x) = x(30 − 2x)2. Đạo hàm V′(x) = (30 − 2x)(30 − 6x).
  3. Trong (0; 15), nhân tử 30 − 2x dương. V′ đổi + → − tại x = 5. Nghiệm x = 15 không thuộc miền và cho đáy bằng 0.

Kết luận: cắt hình vuông cạnh 5 cm; hộp cao 5 cm, đáy 20 cm × 20 cm, thể tích lớn nhất 2.000 cm3.

Ví dụ 5.3. Tối ưu lợi nhuận và điều kiện số lượng nguyên

Một mô hình có giá bán p(q) = 100 − q và chi phí C(q) = 20q + 300 (cùng đơn vị nghìn đồng); q là số sản phẩm, 0 ≤ q ≤ 100.

  1. Doanh thu R(q) = q(100 − q), lợi nhuận P(q) = R(q) − C(q) = −q2 + 80q − 300.
  2. P′(q) = 80 − 2q; điểm tối ưu q = 40 nằm trong miền và là số nguyên.
  3. Parabol quay xuống: lợi nhuận tăng trước 40, giảm sau 40; P(40) = 1.300 nghìn đồng.

Kết luận: theo mô hình đã cho, bán 40 sản phẩm cho lợi nhuận lớn nhất 1,3 triệu đồng.

Ví dụ 5.4. Vận tốc có dấu, tốc độ luôn không âm

Vật chuyển động có tọa độ s(t) = t3 − 3t2 (m), 0 ≤ t ≤ 3 (s). Tìm tốc độ lớn nhất.

  1. Vận tốc v(t) = s′(t) = 3t2 − 6t; tốc độ là |v(t)|.
  2. v′(t) = 6t − 6 = 0 ⇒ t = 1. Kiểm các điểm 0, 1, 2, 3; t = 2 là điểm v đổi dấu.
  3. Các tốc độ tương ứng là 0, 3, 0, 9 m/s. Dựa vào biến thiên trên các khoảng, giá trị lớn nhất là 9.

Kết luận: tốc độ lớn nhất 9 m/s tại t = 3 s; không bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi vật chuyển động ngược chiều.

Mở rộng cách chọn hàm mục tiêu

Vận tốc v = s′, gia tốc a = v′; tốc độ là |v|. Quãng đường không luôn bằng độ dời s(t2) − s(t1), vì vật có thể đổi chiều. Muốn quãng đường, chia theo các thời điểm đổi chiều và cộng độ dài từng chặng.

Doanh thu R(x) = x·p(x), lợi nhuận P = R − C. Chi phí bình quân C(x)x (x > 0) khác chi phí biên C′(x); đơn vị đạo hàm là đơn vị đầu ra chia đơn vị biến đầu vào.

Muốn tốc độ tăng lớn nhất phải tối ưu đạo hàm của đại lượng đang xét. Muốn khoảng cách nhỏ nhất có thể tối ưu bình phương khoảng cách vì khoảng cách không âm. Khi số lượng phải nguyên, kiểm các số nguyên khả thi lân cận điểm tối ưu liên tục; không làm tròn tùy ý.

Kiểm đáp số: điều kiện thực tế có được thỏa mãn? Đơn vị đã đổi thống nhất? Có bỏ sót chi phí cố định, số mặt của hộp hay giả thiết giá bán thay đổi?

Sơ đồ tư duy cuối bài 5

Sơ đồ tư duy bài 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀMỨNG DỤNG ĐẠO HÀMMô hìnhChọn biến + đơn vị + miền hợp lý.Dùng ràng buộc để đưa về một biến.Hàm mục tiêuDiện tích, thể tích, lợi nhuận, tốc độ…Phân biệt vận tốc v với tốc độ |v|.Tối ưuGiải đạo hàm = 0 rồi xét biến thiên.Kiểm đầu mút và giá trị thực sự đạt.Trả lời thực tếKiểm kích thước, đơn vị, số lượng nguyên.Nêu kết luận trong phạm vi mô hình.
Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.
Đọc sơ đồ bằng chữ
  • Mô hình: Chọn biến + đơn vị + miền hợp lý.; Dùng ràng buộc để đưa về một biến..
  • Hàm mục tiêu: Diện tích, thể tích, lợi nhuận, tốc độ…; Phân biệt vận tốc v với tốc độ |v|..
  • Tối ưu: Giải đạo hàm = 0 rồi xét biến thiên.; Kiểm đầu mút và giá trị thực sự đạt..
  • Trả lời thực tế: Kiểm kích thước, đơn vị, số lượng nguyên.; Nêu kết luận trong phạm vi mô hình..
Tự kiểm tra trước khi sang bài

  1. Bài hàng rào ba cạnh với 60 m dây cho kích thước tối ưu nào?
  2. Tối ưu liên tục cho q = 12,4 sản phẩm thì chọn ngay q = 12 được không?
Xem đáp án tự kiểm tra
  1. Hai cạnh vuông góc tường dài 15 m, cạnh còn lại 30 m; diện tích 450 m2.
  2. Chưa. Cần so sánh lợi nhuận tại các giá trị nguyên khả thi gần đó, thường là 12 và 13.

Luyện tập bài 5

Chọn mức phù hợp, làm bài rồi đối chiếu cách giải.

↑ Trở về mục lục chươngChọn chương Toán 12 khác →

Cần người hướng dẫn thêm? Anh/chị có thể liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.