Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

🎯 Học xong, em làm được gì?

📘 Kiến thức trọng tâm

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng: vectơ AB hướng từ A tới B và có độ dài bằng AB. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài, dù đặt ở hai vị trí khác nhau.

Đổi hướng thì đổi dấu: BA = −AB. Trừ vectơ nghĩa là cộng vectơ đối. Khi nhân vectơ u với k, độ dài nhân |k|; nếu k âm thì đảo hướng.

Tích vô hướng và góc

Với hai vectơ khác vectơ-không, góc θ giữa chúng nằm trong khoảng từ 0° tới 180°. Tích vô hướng bằng tích độ dài với cos của góc:

Nếu hai vectơ khác 0 vuông góc thì tích vô hướng bằng 0. Góc nhọn cho tích vô hướng dương, góc tù cho tích vô hướng âm. Vectơ-không không có góc xác định với vectơ khác.

📐 Hình 3D: cộng ba vectơ trong hình hộp

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có ba cạnh xuất phát từ A vuông góc từng đôi một: AB = 3, AD = 4, AA′ = 2.

Phân biệt các vectơ dễ nhầm: AD có điểm cuối D; AC′ có điểm cuối C′; còn DC đi từ D đến C, không phải đường chéo không gian. Trong hình hộp, DC = AB và BC = AD. Vì vậy AC′ = AB + AD + AA′. Có thể kiểm tra bằng đường đi A → B → C → C′. Độ dài AC′ tính bằng định lý Pythagore trong không gian, không lấy 3 + 4 + 2.

💡 Bốn ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Tính vectơ đường chéo hình hộp

Với hình hộp ABCD.A′B′C′D′ ở trên, biểu diễn AC′ rồi tính độ dài.

Ví dụ 2. Ba điểm không cần tạo tam giác

Giả sử A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó với AB = 2 cm, BC = 5 cm.

Ví dụ 3. Góc giữa hai vectơ

Cho |u| = 3, |v| = 4 và góc giữa chúng bằng 120°. Tìm tích vô hướng và độ dài tổng.

Ví dụ 4. Trung điểm và trọng tâm bằng vectơ

M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC. Phát biểu những quan hệ vectơ quan trọng.

🧠 Sơ đồ ghi nhớ

🎯 Em tự kiểm tra

✏️ Luyện tập sau bài

Ba bộ luyện từ Học & Thi đã được biên soạn và duyệt, chọn dạng em cần rèn luyện: