Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp – Toán 10

Một bạn tham gia cả câu lạc bộ Toán lẫn câu lạc bộ Tiếng Anh. Khi đếm số người tham gia ít nhất một câu lạc bộ, ta có nên tính bạn ấy hai lần? Câu hỏi rất đời thường này dẫn đến phép giao, phép hợp và cách tránh đếm trùng.

Trong bài này, em sẽ học cách mô tả tập hợp, phân biệt phần tử với tập con, đọc các khoảng trên trục số và chọn đúng phép toán theo yêu cầu. Kiến thức về mệnh đề giúp em hiểu vì sao “và” khác “hoặc”, còn “không thuộc” dẫn tới hiệu và phần bù.

1. Tập hợp: quan trọng là biết rõ những phần tử nào được chọn

Một tập hợp được xác định khi có thể biết một đối tượng có thuộc tập hợp đó hay không. Ta thường dùng chữ in hoa A, B, U để đặt tên tập hợp; các đối tượng trong tập hợp gọi là phần tử.

Kí hiệu x ∈ A nghĩa là x thuộc A; x ∉ A nghĩa là x không thuộc A. Chẳng hạn, với A = {−2; 0; 3}, ta có 0 ∈ A nhưng 1 ∉ A.

Có hai cách mô tả thường dùng. Cách liệt kê viết các phần tử trong dấu ngoặc nhọn. Cách nêu tính chất đặc trưng chỉ rõ miền của phần tử và điều kiện mà nó phải thỏa mãn. Khi dùng điều kiện chứa biến, cần nói rõ biến thuộc tập số nào.

Ví dụ 1 – Hai cách viết cùng một tập hợp

Gọi A là tập các số nguyên x thỏa mãn −2 ≤ x < 3. Khi đó:

A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3} = {−2; −1; 0; 1; 2}.

Dấu “|” đọc là “sao cho”. Số −2 được lấy vì có dấu ≤; số 3 bị loại vì điều kiện là x < 3. Nếu thay ℤ bằng ℝ, tập nhận được còn chứa các số như 0,5 và √2, nên không thể dùng danh sách năm số trên để mô tả nó.

Thứ tự liệt kê không làm thay đổi tập hợp; mỗi phần tử chỉ tính một lần. Vì vậy {1; 2; 2; 3} và {3; 1; 2} cùng là một tập có ba phần tử. Tuy nhiên, khi trình bày, nên bỏ phần tử lặp và sắp xếp hợp lí để dễ đọc.

Số phần tử của tập hữu hạn A được kí hiệu n(A). Tập không có phần tử nào là tập rỗng, kí hiệu ∅, và n(∅) = 0. Tập {0} có một phần tử là số 0, nên {0} khác ∅. Các tập ℕ, ℤ hay một khoảng không suy biến của ℝ có vô hạn phần tử; không dùng công thức đếm hữu hạn cho chúng.

Ví dụ 2 – Miền xét quyết định tập nghiệm

Trong ℝ, phương trình x² + 1 = 0 không có nghiệm nên tập nghiệm là ∅. Phương trình x² = 0 có tập nghiệm {0}, không phải ∅. Với x² = 9, tập nghiệm trong ℝ là {−3; 3}, nhưng tập nghiệm trong ℕ là {3}.

2. Phần tử, tập con và hai tập hợp bằng nhau

A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B, viết A ⊆ B. Một số tài liệu dùng A ⊂ B cũng theo nghĩa tập con, cho phép A = B. Bài này dùng ⊆ để phân biệt rõ với tập con thực sự.

Phát biểu A ⊆ B tương đương với: với mọi x, nếu x ∈ A thì x ∈ B. Muốn bác bỏ quan hệ này, chỉ cần tìm một phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Mọi tập A đều là tập con của chính nó và ∅ ⊆ A. Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C. Hai tập bằng nhau khi chứa đúng những phần tử như nhau:

A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A.

Nếu A ⊆ B nhưng A ≠ B, A là tập con thực sự của B, có thể viết A ⊊ B. Không kết luận hai tập bằng nhau chỉ vì chúng có cùng số phần tử: {1; 2} và {3; 4} đều có hai phần tử nhưng là hai tập khác nhau.

Ví dụ 3 – Đừng đổi ∈ thành ⊆

Cho A = {1; 3; 5}. Ta viết 3 ∈ A vì 3 là một số trong A; viết {3} ⊆ A vì mọi phần tử của tập {3} đều thuộc A. Trong ví dụ này {3} ∉ A vì các phần tử của A là các số 1, 3, 5, không phải tập {3}.

Gọi B = {x ∈ ℕ | x là số lẻ và x < 6}. Liệt kê B được {1; 3; 5}, nên B = A. Còn C = {1; 5} là tập con thực sự của A: các phần tử của C đều ở A nhưng số 3 của A không ở C.

Để chứng minh tập các số nguyên chia hết cho 4 là tập con của tập các số nguyên chẵn, lấy một số bất kì x = 4k, với k ∈ ℤ. Khi đó x = 2(2k) là số chẵn. Chiều ngược lại không đúng, vì số 2 chẵn nhưng không chia hết cho 4.

3. Các tập hợp số và những khoảng trên ℝ

Các tập số quen thuộc liên hệ với nhau theo chuỗi ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

ℕ = {0; 1; 2; 3; …}; ℕ* = {1; 2; 3; …}. ℤ gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương. ℚ gồm những số viết được dưới dạng $\frac{m}{n}$, với m, n ∈ ℤ và n ≠ 0. ℝ gồm số hữu tỉ và số vô tỉ.

Ví dụ, −3 thuộc ℤ, ℚ và ℝ nhưng không thuộc ℕ. Số 0,25 = $\frac{1}{4}$ thuộc ℚ; số √2 thuộc ℝ nhưng không thuộc ℚ. Việc một số thuộc nhiều tập trong chuỗi trên là hoàn toàn bình thường.

Với a < b, các cách viết sau biểu diễn tập con của ℝ:

(a; b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}: khoảng, không lấy hai đầu mút.

[a; b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}: đoạn, lấy cả hai đầu mút.

[a; b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}: lấy a, không lấy b.

(a; b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}: không lấy a, lấy b.

Các tập không bị chặn về một phía cũng thường gặp:

(−∞; a) biểu diễn x < a; (−∞; a] biểu diễn x ≤ a.

(a; +∞) biểu diễn x > a; [a; +∞) biểu diễn x ≥ a.

ℝ = (−∞; +∞). Kí hiệu ±∞ không phải một số thực, vì thế luôn đi với ngoặc tròn. Trên hình, chấm đặc chỉ đầu mút được lấy; chấm rỗng chỉ đầu mút không được lấy.

Một khoảng biểu diễn cả những số thực ở giữa, không chỉ các số nguyên. Chẳng hạn, [1; 2] chứa 1,5. Trường hợp hai đầu mút trùng nhau cần xét trực tiếp: {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 2} = {2}, còn {x ∈ ℝ | 2 < x < 2} = ∅.

4. Giao, hợp, hiệu và phần bù: đọc từ điều kiện chọn phần tử

Giao của A và B, kí hiệu A ∩ B, gồm những phần tử đồng thời thuộc A và thuộc B:

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Hợp của A và B, kí hiệu A ∪ B, gồm những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập:

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Từ “hoặc” ở đây bao gồm cả trường hợp thuộc cả hai tập. Vì thế, một bạn tham gia cả hai câu lạc bộ vẫn được tính trong nhóm “tham gia Toán hoặc Tiếng Anh”, nhưng chỉ đếm một lần khi đếm số người.

Hiệu A ∖ B gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B:

A ∖ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Phép hiệu có thứ tự: A ∖ B nhìn từ A rồi loại phần thuộc B; B ∖ A nhìn từ B rồi loại phần thuộc A. Hai kết quả nói chung khác nhau.

Nếu A ⊆ U, phần bù của A trong U là U ∖ A, còn được kí hiệu C_U(A). Muốn nói “không thuộc A”, cần xác định đang xét trong tập U nào. Đổi U có thể làm thay đổi phần bù.

Ví dụ 4 – Tính đủ bốn phép toán trên một bộ dữ kiện

Cho U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, A = {1; 2; 4; 6; 8}, B = {2; 3; 6; 9}.

Các phần tử chung là 2 và 6, nên A ∩ B = {2; 6}.

Gom các phần tử của hai tập và bỏ phần tử lặp, được A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9}.

Từ A bỏ 2 và 6 vì chúng thuộc B, được A ∖ B = {1; 4; 8}. Ngược lại, B ∖ A = {3; 9}.

Các phần tử của U không thuộc A là 3, 5, 7, 9, 10, nên C_U(A) = {3; 5; 7; 9; 10}. Các phần tử không thuộc A và cũng không thuộc B là {5; 7; 10}.

Khi A ⊆ B, em có ngay A ∩ B = A và A ∪ B = B. Luôn có A ∩ B ⊆ A, A ⊆ A ∪ B, A ∖ A = ∅, A ∪ ∅ = A và A ∩ ∅ = ∅. Đây là những cách tự kiểm, không cần học như các công thức rời rạc: hãy diễn đạt lại bằng “và”, “hoặc”, “không thuộc”.

5. Phép toán trên khoảng: xét phần bên trong rồi kiểm từng đầu mút

Với các khoảng trên ℝ, hãy đánh dấu các đầu mút theo thứ tự trên trục số. Tìm phần đáp ứng điều kiện của phép toán, sau đó xét riêng mỗi đầu mút. Một dấu ngoặc sai có thể làm đáp án khác hẳn, dù phần đường tô có vẻ gần giống.

Ví dụ 5 – Một cặp khoảng, bốn kết quả khác nhau

Cho A = [−2; 3), B = (1; 5].

Giao cần đồng thời −2 ≤ x < 3 và 1 < x ≤ 5. Hai điều kiện chung là 1 < x < 3, nên A ∩ B = (1; 3). Số 1 không ở B, còn số 3 không ở A, nên cả hai đều bị loại khỏi giao.

Hợp cần ở ít nhất một tập. Hai khoảng chồng lên nhau và phủ liên tục từ −2 đến 5; hai đầu ngoài cùng đều được lấy. Vậy A ∪ B = [−2; 5].

Hiệu A ∖ B giữ phần của A không ở B. Các số lớn hơn 1 trong A đều ở B, còn số 1 không ở B. Vì thế A ∖ B = [−2; 1], có lấy 1.

Hiệu B ∖ A giữ những số từ 3 đến 5. Số 3 thuộc B nhưng không thuộc A, nên B ∖ A = [3; 5], có lấy 3.

Ví dụ 6 – Hai khoảng chạm nhau tại đúng một điểm

[0; 2] ∩ [2; 4] = {2} vì số 2 thuộc cả hai đoạn. Nhưng [0; 2) ∩ [2; 4] = ∅ vì tập thứ nhất không lấy 2.

Cũng cần cẩn thận khi lấy hợp: [0; 2) ∪ (2; 4] không bằng [0; 4], vì số 2 không thuộc khoảng nào. Có thể giữ nguyên cách viết hợp hai khoảng hoặc viết [0; 4] ∖ {2}.

Ví dụ 7 – Phần bù phụ thuộc tập đang xét

Cho A = [−1; 2). Trong ℝ, phần bù của A là (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Số −1 bị loại khỏi phần bù vì đã thuộc A; số 2 được lấy vì không thuộc A.

Nếu chỉ xét U = [−3; 5], vẫn có A ⊆ U nhưng phần bù là [−3; −1) ∪ [2; 5]. Các số ngoài U không được đưa vào kết quả.

6. Đếm số phần tử: vì sao phải trừ phần giao?

Với hai tập hữu hạn A, B:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Khi cộng n(A) và n(B), mỗi phần tử chung đã được đếm hai lần. Phép trừ n(A ∩ B) bỏ đi đúng một lượt đếm dư, chứ không xóa các phần tử chung khỏi hợp.

Từ cách chia thành các vùng, ta cũng có:

n(A ∖ B) = n(A) − n(A ∩ B).

Số phần tử chỉ thuộc đúng một trong hai tập bằng n(A) + n(B) − 2n(A ∩ B).

Nếu A, B ⊆ U và U hữu hạn, số phần tử không thuộc tập nào bằng n(U) − n(A ∪ B).

Ví dụ 8 – Khảo sát câu lạc bộ, không đếm trùng người

Một lớp giả định có 40 học sinh; 22 bạn tham gia câu lạc bộ Toán, 18 bạn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, trong đó 8 bạn tham gia cả hai. Gọi hai nhóm là A và B.

Số bạn tham gia ít nhất một câu lạc bộ là 22 + 18 − 8 = 32.

Chỉ tham gia Toán: 22 − 8 = 14 bạn. Chỉ tham gia Tiếng Anh: 18 − 8 = 10 bạn. Không tham gia câu lạc bộ nào: 40 − 32 = 8 bạn.

Kiểm lại theo bốn vùng không chồng nhau: 14 + 8 + 10 + 8 = 40. Số bạn tham gia đúng một câu lạc bộ là 14 + 10 = 24, khác số 32 của “ít nhất một”. Các số đếm phải không âm và số thuộc cả hai không thể vượt số người của mỗi nhóm.

7. Vận dụng thêm: tìm tham số bằng quan hệ tập hợp

Khi đầu mút chứa tham số, không nên đoán vị trí của hai khoảng từ một hình duy nhất. Hãy chuyển quan hệ tập hợp về điều kiện của đầu mút, rồi kiểm các trường hợp bằng nhau.

Ví dụ 9 – Đoạn nào nằm trọn trong đoạn đã cho?

Cho A_t = [t; t + 2] và B = [1; 4], với t ∈ ℝ. Để A_t ⊆ B, đầu trái t không được nhỏ hơn 1 và đầu phải t + 2 không được lớn hơn 4. Vì thế t ≥ 1 và t ≤ 2, hay t ∈ [1; 2].

Nếu chỉ cần A_t ∩ B ≠ ∅, hai đoạn phải có ít nhất một điểm chung. Điều kiện là t ≤ 4 và t + 2 ≥ 1, nên −1 ≤ t ≤ 4. Hai giá trị biên vẫn được lấy: t = −1 cho điểm chung 1; t = 4 cho điểm chung 4. Do đó, điều kiện có giao không rỗng yếu hơn điều kiện nằm trọn trong B.

8. Những lỗi dễ nhầm và cách tự kiểm

Phần tử khác tập con: 3 ∈ A không được tự đổi thành 3 ⊆ A. Khi muốn nói tập chỉ chứa số 3, phải viết {3}.

Tập rỗng khác tập chứa số 0: ∅ không có phần tử, còn {0} có một phần tử.

Giao khác hợp: “thuộc cả hai” dùng ∩; “thuộc ít nhất một” dùng ∪. “Chỉ thuộc đúng một” phải loại phần giao.

Hiệu không giao hoán: luôn đọc tên tập đứng trước rồi mới loại phần của tập đứng sau.

Đầu mút cần kiểm riêng: dấu ≤, ≥ cho biết có lấy; dấu <, > cho biết không lấy. ±∞ không đi với ngoặc vuông.

Biểu đồ Ven biểu diễn quan hệ, không bắt buộc diện tích hình tròn tỉ lệ với số phần tử. Muốn biết số lượng, phải đọc các con số hoặc dữ kiện, không đo diện tích trên hình.

Một quy trình gọn là: xác định miền xét → diễn đạt yêu cầu bằng “và/hoặc/không thuộc” → chọn phép toán → lập kết quả → kiểm đầu mút hoặc số phần tử. Khi bài có nhiều phép toán, làm phần trong ngoặc trước và ghi kết quả trung gian để tránh trộn các tập.

9. Kết nối kiến thức

Mệnh đề giúp em đọc điều kiện chọn phần tử. Sau bài này, tập nghiệm của bất phương trình một ẩn có thể được viết bằng khoảng; với hai ẩn, mỗi nghiệm là một cặp số và tập nghiệm được biểu diễn bằng một miền trên mặt phẳng. Dù hình biểu diễn thay đổi, ý tưởng “chọn những phần tử thỏa điều kiện” vẫn giữ nguyên.

10. Sơ đồ tư duy

Tập hợp được xác định bởi phần tử; tập con cần kiểm mọi phần tử. Giao là đồng thời, hợp là ít nhất một, hiệu là lấy trong tập đầu và loại tập sau. Trên ℝ, luôn đọc cả đầu mút; khi đếm hữu hạn, bỏ đúng lượt đếm trùng của phần giao.