Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 3
Mục tiêu và kiến thức nền
Nhận biết nghiệm (x; y), vẽ đường biên và chọn đúng nửa mặt phẳng.
Chuẩn bị: tọa độ điểm và phương trình đường thẳng đơn giản.
Một vé học sinh giá 20 nghìn đồng, vé người lớn giá 30 nghìn đồng. Với ngân sách không quá 120 nghìn đồng, số vé x và y cần thỏa 20x + 30y ≤ 120. Một điều kiện có hai ẩn thường cho cả một miền nghiệm, không chỉ một cặp số.
Nghiệm là một cặp có thứ tự
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≤ c, ≥ c, < c hoặc > c; a và b không đồng thời bằng 0. Cặp (x₀; y₀) là nghiệm khi thay vào được bất đẳng thức đúng. Thứ tự rất quan trọng: (1; 2) không tự động có vai trò như (2; 1). Trong bài toán thực tế, điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 hoặc nguyên phải được thêm riêng.
Vì sao đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền?
Đường ax + by = c là nơi biểu thức ax + by − c bằng 0. Ở hai phía của đường, biểu thức có hai dấu trái nhau. Do đó, chỉ cần thử một điểm không nằm trên đường để biết phía nào thỏa bất phương trình. Miền nghiệm của ≤ hoặc ≥ gồm cả đường biên; miền nghiệm của < hoặc > không gồm đường biên.
Quy trình biểu diễn
Bước 1: thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng để tìm đường biên. Bước 2: lấy hai điểm phân biệt thuộc đường rồi nối lại. Bước 3: chọn điểm thử, thường là O(0; 0) nếu O không ở đường biên. Bước 4: thay tọa độ điểm thử vào bất phương trình và tô phía thỏa. Dùng nét liền khi lấy biên, nét đứt khi không lấy biên. Với đường qua O, chọn điểm khác như (1; 0), miễn điểm đó không ở biên.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Biểu diễn x + 2y ≤ 4
Đường biên x + 2y = 4 đi qua A(4; 0) và B(0; 2). Thử O(0; 0): 0 ≤ 4 đúng, nên lấy nửa mặt phẳng chứa O và cả đường thẳng AB. Kiểm tra M(2; 1): 2 + 2 = 4 nên M nằm trên biên và vẫn là nghiệm.
VÍ DỤ 2
Đường biên không nhận gốc tọa độ làm điểm thử
Với y > x, biên là y = x đi qua O. Thử M(0; 1): 1 > 0 đúng. Lấy phía chứa M, không lấy biên. N(2; 2) không là nghiệm vì 2 > 2 sai; điều này giải thích vì sao phải vẽ biên nét đứt.
VÍ DỤ 3
Trở lại bài toán mua vé
20x + 30y ≤ 120 tương đương 2x + 3y ≤ 12. Cặp (3; 2) dùng hết 120 nghìn đồng, phù hợp. Cặp (2; 3) tốn 130 nghìn đồng, không phù hợp. Miền hình học chứa cả cặp số lẻ hoặc âm, nhưng bài toán vé chỉ nhận các điểm có tọa độ nguyên không âm.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Không chỉ lấy nghiệm trên đường biên: bất phương trình thường lấy cả một phía.
- Không thử O khi O nằm trên đường biên.
- Nếu nhân hoặc chia cả hai vế với số âm, phải đổi chiều bất đẳng thức.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Cặp nào là nghiệm của x + 2y ≤ 4?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án C.
Thay (2; 1): 2 + 2·1 = 4 ≤ 4. Ba cặp còn lại lần lượt cho 5, 6, 5, đều lớn hơn 4.
Câu 2. Đường biên 2x + 3y = 12 cắt trục Ox tại (a; 0). Tìm a.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 6.
Trên Ox có y = 0. Khi đó 2a = 12 nên a = 6.
Câu 3. Xét bất phương trình y > x.
- Đường biên là y = x.
- O(0; 0) là nghiệm.
- M(0; 1) là nghiệm.
- Đường biên thuộc miền nghiệm.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
a) Đúng. b) Sai vì 0 > 0 sai. c) Đúng vì 1 > 0. d) Sai vì dấu > không nhận bằng nhau.
Câu 4. Biểu diễn miền nghiệm của x − y ≥ 2, nêu một điểm trong miền.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Biên y = x − 2 đi qua (2; 0), (0; −2), vẽ nét liền. O không thỏa vì 0 ≥ 2 sai. Lấy phía không chứa O, tức y ≤ x − 2. Ví dụ (3; 0) thỏa 3 ≥ 2.
Câu 5. Có 100 nghìn đồng mua vở giá 10 nghìn/quyển và bút giá 5 nghìn/cây. Lập điều kiện cho số vở x, số bút y và kiểm tra (7; 6).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Điều kiện 10x + 5y ≤ 100, x và y nguyên không âm. Với (7; 6), chi phí 70 + 30 = 100 nghìn đồng nên phù hợp.
Câu 6. Một bạn biến đổi −2x + y ≥ 3 thành 2x − y ≥ −3. Hãy sửa.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Nhân cả hai vế với −1 phải đổi chiều: 2x − y ≤ −3. Có thể kiểm bằng (0; 4): bất phương trình đầu đúng và −4 ≤ −3 cũng đúng.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.