Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 4
Mục tiêu và kiến thức nền
Tìm miền nghiệm chung và tối ưu biểu thức bậc nhất trên miền đa giác.
Chuẩn bị: miền nghiệm của một bất phương trình hai ẩn.
Một xưởng làm hai sản phẩm cùng sử dụng thời gian và vật liệu. Mỗi giới hạn cho một bất phương trình. Phương án sản xuất phải thỏa tất cả giới hạn cùng lúc, nên ta cần phần giao của các miền nghiệm.
Nghiệm của hệ: tất cả điều kiện đều đúng
Một cặp (x; y) là nghiệm của hệ khi nó thỏa từng bất phương trình. Miền nghiệm của hệ là giao của các nửa mặt phẳng tương ứng. Nếu các miền không có điểm chung, hệ vô nghiệm. Điều kiện x ≥ 0 và y ≥ 0 đưa miền về góc phần tư thứ nhất, gồm cả hai trục.
Từ dữ kiện đến mô hình
Đặt ẩn có đơn vị rõ ràng. Với mỗi tài nguyên, lập tổng lượng sử dụng rồi so với lượng có. “Không quá” tương ứng ≤; “ít nhất” tương ứng ≥. Tách các ràng buộc khỏi biểu thức mục tiêu, chẳng hạn doanh thu F = px + qy. Các hệ số p, q phải được đổi về cùng đơn vị trước khi cộng.
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Với miền nghiệm là một đa giác đóng, bị chặn và khác rỗng, biểu thức bậc nhất F = px + qy đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại ít nhất một đỉnh. Xác định các đỉnh bằng giao các đường biên, loại giao điểm không thỏa toàn hệ rồi tính F ở từng đỉnh. Nếu một cạnh song song với đường F không đổi, có thể có cả cạnh cùng tối ưu. Nếu yêu cầu ẩn nguyên, cần kiểm tra điều kiện nguyên; không được tùy ý làm tròn nghiệm tối ưu liên tục.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Miền nghiệm và các đỉnh
Cho x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8. Trên Ox: y = 0 nên x ≤ 4. Trên Oy: x = 0 nên y ≤ 6. Hai đường x + y = 6 và 2x + y = 8 cắt nhau tại (2; 4). Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh (0; 0), (4; 0), (2; 4), (0; 6). Mỗi đỉnh đều cần thay lại vào toàn hệ.
VÍ DỤ 2
Tối ưu và diễn giải
Tìm max F = 3x + 2y trên miền trên. Tại bốn đỉnh, F lần lượt là 0, 12, 14, 12. Vậy max F = 14 tại (2; 4). Nếu x, y là số sản phẩm và F tính bằng trăm nghìn đồng, phương án 2 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II cho 1,4 triệu đồng. Đây là kết luận trong phạm vi mô hình và các ràng buộc đã cho.
VÍ DỤ 3
Nhận ra hệ không có nghiệm
Hệ x + y ≤ 2 và x + y ≥ 5 không có nghiệm, vì không số nào đồng thời không quá 2 và ít nhất 5. Hai nửa mặt phẳng không giao nhau; không cần cố tìm các đỉnh để tối ưu.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Không lấy hợp các miền khi đề yêu cầu đồng thời thỏa hệ.
- Giao hai đường biên có thể nằm ngoài miền nghiệm.
- Với miền không bị chặn, không tự khẳng định luôn có cả max và min.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Nghiệm của hệ phải thỏa điều kiện nào?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án D.
Hệ thể hiện các yêu cầu đồng thời, do đó nghiệm phải thỏa tất cả bất phương trình.
Câu 2. Tìm hoành độ giao điểm của x + y = 6 và 2x + y = 8.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2.
Lấy phương trình thứ hai trừ thứ nhất: x = 2. Khi đó y = 4.
Câu 3. Cho x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8.
- (4; 0) thuộc miền nghiệm.
- (0; 7) thuộc miền nghiệm.
- (2; 4) là giao hai đường biên xiên.
- (5; 0) thuộc miền nghiệm.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
a) Đúng vì 4 ≤ 6 và 8 ≤ 8. b) Sai vì 7 > 6. c) Đúng vì 2 + 4 = 6, 4 + 4 = 8. d) Sai vì 10 > 8.
Câu 4. Trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5, tìm max F = 2x + 3y.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Miền tam giác có đỉnh (0; 0), (5; 0), (0; 5). Các giá trị F là 0, 10, 15. Max F = 15 tại (0; 5).
Câu 5. Một cơ sở có 8 giờ máy và 6 giờ nhân công. Sản phẩm A dùng 2 giờ máy và 1 giờ nhân công; B dùng 1 giờ mỗi loại. Lập hệ cho x sản phẩm A, y sản phẩm B.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Giờ máy: 2x + y ≤ 8. Giờ nhân công: x + y ≤ 6. Thêm x ≥ 0, y ≥ 0, x và y nguyên nếu chỉ nhận sản phẩm hoàn chỉnh. Không cộng hai tài nguyên khác loại thành một ràng buộc thay thế.
Câu 6. Hệ x + y ≤ 1 và x + y ≥ 3 có nghiệm không? Giải thích.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Không. Nếu đặt t = x + y thì phải có 3 ≤ t ≤ 1, vô lí. Vì vậy miền nghiệm rỗng.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.