Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 5
Mục tiêu và kiến thức nền
Đọc sin, cos, tan trên nửa đường tròn đơn vị; tính đúng dấu và góc bù.
Chuẩn bị: tọa độ trong mặt phẳng và tỉ số lượng giác góc nhọn.
Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông chỉ giải thích trực tiếp góc nhọn. Muốn tính cos của góc 120°, ta cần một cách định nghĩa rộng hơn: đọc tọa độ của điểm trên nửa đường tròn đơn vị.
Tọa độ giúp mở rộng khái niệm
Trên mặt phẳng Oxy, lấy M thuộc nửa đường tròn tâm O, bán kính 1 phía trên Ox sao cho góc từ tia Ox đến OM là α, 0° ≤ α ≤ 180°. Nếu M có tọa độ (x; y), đặt cos α = x, sin α = y. Khi cos α ≠ 0, tan α = sin α / cos α. Khi sin α ≠ 0, cot α = cos α / sin α. Đây là tọa độ có dấu, không phải mọi giá trị đều dương.
Dấu và giá trị cần nhớ
Trên đoạn góc đang xét, sin α ≥ 0. Cos dương với góc nhọn, bằng 0 tại 90°, âm với góc tù. Tan và cot dương với góc nhọn, âm với góc tù. Sin của 0°, 30°, 45°, 60°, 90° lần lượt là 0; 1/2; √2/2; √3/2; 1. Cos có dãy đảo ngược. Tan 90° không xác định; cot 0° và cot 180° không xác định.
Góc bù và hệ thức cơ bản
Hai điểm ứng với α và 180° − α đối xứng qua Oy, nên sin(180° − α) = sin α và cos(180° − α) = −cos α. Suy ra tan và cot của góc bù đổi dấu khi xác định. Do M nằm trên đường tròn đơn vị, sin²α + cos²α = 1. Khi biết sin, muốn suy ra cos phải xét góc nhọn hay tù để chọn dấu căn.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Tính góc tù bằng góc bù
120° = 180° − 60°. Vì thế sin120° = √3/2, cos120° = −1/2, tan120° = −√3. Dấu âm của cos phù hợp điểm nằm bên trái Oy.
VÍ DỤ 2
Biết sin nhưng không được quên dấu cos
Cho sin α = 3/5 và 90° < α < 180°. Ta có cos²α = 1 − 9/25 = 16/25. Vì α tù nên cos α = −4/5. Suy ra tan α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
VÍ DỤ 3
Dùng máy tính đúng chế độ
Để tính sin 42° trong bài dùng độ, đặt máy ở DEG. Kết quả gần 0,6691. Chỉ làm tròn ở bước cuối theo yêu cầu đề; không thay sin42° bằng 0,67 quá sớm nếu còn nhiều phép tính.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Không viết tan90° = 0.
- Không chọn dấu dương cho cos của góc tù.
- Phân biệt sin²α = (sin α)² với sin(α²).
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. cos120° bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án A.
120° bù với 60° nên cos120° = −cos60° = −1/2.
Câu 2. Tính 2sin30° + cos180°.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 0.
2·(1/2) + (−1) = 0.
Câu 3. Với 0° ≤ α ≤ 180°:
- sin α ≥ 0.
- cos α luôn không âm.
- sin²α + cos²α = 1.
- tan90° xác định.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
a) Đúng vì tung độ không âm. b) Sai khi α > 90°. c) Đúng theo đường tròn đơn vị. d) Sai vì cos90° = 0.
Câu 4. Cho cos α = −5/13, 90° < α < 180°. Tính sin α và tan α.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
sin²α = 1 − 25/169 = 144/169. Sin của góc tù dương nên sin α = 12/13. Tan α = (12/13)/(−5/13) = −12/5.
Câu 5. Rút gọn sin35° − sin145° + cos35° + cos145°.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
145° = 180° − 35° nên sin145° = sin35°, cos145° = −cos35°. Hai cặp triệt tiêu, kết quả 0.
Câu 6. Một bạn biết sin α = 1/2 và kết luận α = 30° với 0° ≤ α ≤ 180°. Kết luận thiếu gì?
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Còn α = 150° vì sin150° = sin30° = 1/2. Nếu không cho α nhọn, có hai góc 30° và 150°.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.