Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 6
Mục tiêu và kiến thức nền
Chọn định lí sin hoặc cosin theo dữ kiện; tính diện tích và giải bài toán đo đạc.
Chuẩn bị: giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180°.
Không thể đi thẳng qua một hồ để đo khoảng cách giữa hai điểm. Ta có thể đo một cạnh trên bờ và các góc nhìn, rồi dùng tam giác để tính cạnh còn thiếu. Hệ thức lượng biến phép đo gián tiếp thành một bài toán có thể giải.
Quy ước cạnh đối diện góc
Trong tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA, c = AB; A, B, C là các góc tương ứng. Định lí cosin: a² = b² + c² − 2bc cos A; hai công thức khác hoán đổi vai trò các chữ. Công thức phù hợp khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh cần tìm góc. Với A = 90°, cos A = 0, ta thu được định lí Pythagore.
Định lí sin và cách chọn công thức
Ta có a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Khi đã biết một cặp cạnh–góc đối diện, công thức sin thường giúp tìm cạnh hoặc góc còn lại. Tổng ba góc luôn bằng 180°. Nếu biết hai cạnh và một góc không xen giữa, việc tìm góc qua sin có thể cho hai giá trị; cần kiểm tra tổng góc và các điều kiện còn lại, không mặc nhiên nhận một nghiệm.
Bốn cách tính diện tích
Diện tích S = bc sin A / 2 = ca sin B / 2 = ab sin C / 2. Ngoài ra S = abc/(4R), S = pr với p = (a + b + c)/2 và r là bán kính nội tiếp. Công thức Heron: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]. Các cạnh phải dương và tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba. Đơn vị diện tích là đơn vị độ dài bình phương.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Hai cạnh và góc xen giữa
Cho b = 5 cm, c = 7 cm, A = 60°. Khi đó a² = 25 + 49 − 2·5·7·(1/2) = 39, nên a = √39 cm. Diện tích S = 5·7·sin60°/2 = 35√3/4 cm². Không dùng sin của góc không nằm giữa hai cạnh đã biết trong công thức này.
VÍ DỤ 2
Tam giác ba cạnh và Heron
Với a = 13, b = 14, c = 15 cm, nửa chu vi p = 21 cm. S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 cm². Suy ra r = S/p = 4 cm, R = abc/(4S) = 65/8 cm.
VÍ DỤ 3
Đo chiều rộng qua hai góc
Hai điểm A, B trên bờ cách nhau 60 m. Điểm C ở bên kia; đo được A = 45°, B = 60°. Khi đó C = 75°. Định lí sin cho AC = 60sin60°/sin75° ≈ 53,79 m. Đây là khoảng cách AC; nếu cần khoảng cách vuông góc từ C tới AB, phải tính tiếp h = AC sin45° ≈ 38,04 m.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Đặt đúng cạnh đối diện góc; a không phải cạnh AB.
- Phân biệt R ngoại tiếp và r nội tiếp.
- Khoảng cách xiên không phải chiều cao vuông góc.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Biết hai cạnh b, c và góc xen giữa A, tìm a thuận tiện nhất bằng:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án B.
a² = b² + c² − 2bc cos A dùng trực tiếp dữ kiện hai cạnh và góc xen giữa.
Câu 2. Tam giác có b = 3, c = 4, A = 90°. Tìm a.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 5.
a² = 9 + 16 − 24cos90° = 25 nên a = 5.
Câu 3. Tam giác có các cạnh 13 cm, 14 cm, 15 cm.
- Nửa chu vi là 21 cm.
- Diện tích là 84 cm².
- Bán kính nội tiếp là 4 cm.
- Bán kính ngoại tiếp cũng bằng 4 cm.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) (13+14+15)/2=21. b) Heron cho 84. c) r=84/21=4. d) R=13·14·15/(4·84)=65/8, khác 4.
Câu 4. Cho a = 6 cm, A = 30°, B = 45°. Tính b và R.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
a/sin A = 6/(1/2) = 12 = 2R nên R = 6 cm. b = 12sin45° = 6√2 cm.
Câu 5. Hai lực có độ lớn 6 N và 8 N, hợp góc 60°. Hợp lực tương ứng đường chéo hình bình hành. Tính độ lớn hợp lực.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Bình phương hợp lực là 6² + 8² + 2·6·8cos60° = 148. Độ lớn là √148 = 2√37 N. Dấu cộng xuất hiện vì đây là tổng hai vectơ cùng gốc; nếu dùng tam giác cosin, góc xen giữa trong tam giác là 120°.
Câu 6. Ba độ dài 2, 3, 6 cm có tạo thành tam giác không? Có được áp dụng Heron không?
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Không, vì 2 + 3 < 6. Không tồn tại tam giác với ba cạnh này, nên không áp dụng Heron để nhận một diện tích hình học.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.