Bài 7: Các khái niệm mở đầu – Toán 10

TOÁN 10 · BÀI 7

Vectơ: phương, hướng, độ dài và hai vectơ bằng nhau — hình minh họa nội dung

Mục tiêu và kiến thức nền

Phân biệt vectơ với độ dài; nhận biết cùng phương, cùng hướng và bằng nhau.

Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.

Đi bộ 3 m chưa cho biết ta đến đâu nếu thiếu hướng. Một vectơ biểu diễn đồng thời hướng và độ lớn của sự dịch chuyển. Vì vậy hai hành trình dài bằng nhau chưa chắc là hai vectơ bằng nhau.

Mũi tên có điểm đầu và điểm cuối

Vectơ AB, kí hiệu bằng mũi tên trên AB, có điểm đầu A và điểm cuối B. Độ dài của vectơ $\vec{AB}$ là độ dài đoạn AB, luôn không âm. Vectơ BA đi theo chiều ngược lại. Trong bài này, khi viết AB với mũi tên ta nói về vectơ; khi viết |AB| ta nói về độ dài. Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối được gọi là vectơ không, kí hiệu 0, có độ dài 0.

Cùng phương không đồng nghĩa cùng hướng

Hai vectơ khác 0 cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài, không cần cùng điểm đầu. Hai vectơ đối nhau khi ngược hướng và cùng độ dài. Theo quy ước, vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ và bằng mọi vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối.

Dời mũi tên nhưng giữ vectơ

Để dựng từ điểm O một vectơ bằng vectơ $\vec{AB}$ khác 0, vẽ qua O đường song song với AB rồi lấy điểm M theo đúng hướng A đến B sao cho OM = AB. Khi ấy vectơ $\vec{OM}$ bằng vectơ $\vec{AB}$ . Đây là ý tưởng giúp biểu diễn vận tốc hoặc lực ở những vị trí khác nhau khi giải toán hình học; việc bằng nhau của vectơ vẫn chỉ dựa trên hướng và độ dài.

Công thức và điều kiện cần nhớ

| \vec{AB} | = AB; \vec{BA} = − \vec{AB}

Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài dù ở vị trí khác nhau.

Ví dụ có lời giải

VÍ DỤ 1

Hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD theo thứ tự quanh hình. Vectơ AB bằng vectơ $\vec{DC}$ ; vectơ $\vec{AD}$ bằng vectơ $\vec{BC}$ . Vectơ AB đối vectơ $\vec{CD}$ . Dễ nhầm DC thành CD nếu chỉ nhìn hai cạnh song song và bằng nhau mà quên chiều mũi tên.

VÍ DỤ 2

Hai vectơ có cùng độ dài

Một vectơ hướng đông dài 4 đơn vị và một vectơ hướng bắc dài 4 đơn vị có độ dài bằng nhau nhưng không bằng nhau vì khác hướng. Nếu cả hai đều hướng đông và dài 4 đơn vị, chúng bằng nhau dù được vẽ ở hai nơi khác nhau.

Lỗi thường gặp và cách tự kiểm

Không viết vectơ bằng một số vô hướng.
Đảo thứ tự điểm làm đảo hướng.
Cùng phương mới chỉ cho biết song song hoặc trùng giá.

Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng

Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.

Câu 1. Trong hình bình hành ABCD, vectơ $\vec{AB}$ bằng:

Xem đáp án và lời giải

Đáp án C.

Hai cạnh AB và DC cùng hướng và cùng độ dài.

Câu 2. A(1; 2), B(4; 6). Độ dài vectơ $\vec{AB}$ là bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 5.

Độ lệch ngang 3, dọc 4 nên AB = √(3² + 4²) = 5.

Câu 3. Xét hai vectơ khác 0.

Bằng nhau thì cùng phương.
Cùng độ dài thì bằng nhau.
Cùng phương thì luôn cùng hướng.
Đối nhau thì cùng độ dài.

Xem đáp án và lời giải

a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Đúng vì bằng nhau thì cùng hướng. b) Sai, còn cần hướng. c) Sai, có thể ngược hướng. d) Đúng theo định nghĩa vectơ đối.

Câu 4. A, B, C thẳng hàng theo thứ tự, AB = BC = 3 cm. So sánh vectơ $\vec{AB}$ , BC, CB.

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

Vectơ AB và BC cùng hướng, cùng độ dài nên bằng nhau. Vectơ CB ngược hướng, cùng độ dài với AB nên là vectơ đối của AB.

Câu 5. Giải thích vì sao vectơ $\vec{AA}$ = vectơ $\vec{BB}$ dù A và B khác nhau.

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

Cả hai đều có điểm đầu trùng điểm cuối, nên đều là vectơ 0. Độ dài bằng 0, vị trí điểm vẽ không làm thay đổi vectơ không.

Câu 6. Một người đi 2 km về đông, người khác đi 2 km về tây. Hai vectơ dịch chuyển có bằng nhau không?

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

Không. Chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên là hai vectơ đối nhau.

Sơ đồ ghi nhớ

Học tiếp và luyện thêm

Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.