Ứng dụng hình học của tích phân

1. Diện tích hình phẳng với trục hoành

Giả sử $f$ liên tục trên $[a;b]$, $a<b$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành và $x=a,x=b$ là:

• Nếu $f\ge 0$ trên cả đoạn thì $S={\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Nếu $f\le 0$ trên cả đoạn thì $S=-{\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Nếu $f$ đổi dấu, tách đoạn tại các nghiệm và cộng các phần diện tích không âm.

Chỉ khi $f$ không đổi dấu mới luôn có $S=|{\int }_a^{b}f(x)dx|$. Nói chung $\int |f|$ và $|\int f|$ khác nhau.

2. Diện tích giữa hai đồ thị

Nếu chưa biết cận, giải phương trình giao điểm $f(x)=g(x)$, chọn đúng miền kín theo đề. Tại mỗi khoảng, lấy đường trên trừ đường dưới. Với nhiều đường biên, xác định công thức biên trên và biên dưới của từng đoạn riêng.

3. Diện tích từ đồ thị và giá trị của nguyên hàm

Nếu đồ thị chia thành các miền có diện tích $S_1,S_2,\dots$, tích phân của hàm bằng tổng diện tích phía trên trục hoành trừ tổng diện tích phía dưới. Tổng diện tích hình phẳng lại bằng $S_1+S_2+\cdots$.

Nếu cho đồ thị $f^{\prime }$, dùng $f(b)=f(a)+{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx$. Hãy đọc đúng tên hàm trên đồ thị: diện tích dưới $f^{\prime }$ cho thay đổi của $f$, không trực tiếp cho $f^{\prime }(b)$.

4. Thể tích theo diện tích thiết diện

Vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=a,x=b$. Thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ có diện tích $A(x)$, liên tục hoặc liên tục từng khúc. Khi đó:

Không tích phân trực tiếp độ dài cạnh khi đề hỏi thể tích. Trước hết phải đổi cạnh, bán kính hoặc chiều cao thành diện tích thiết diện.

5. Thể tích khối tròn xoay

Quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=0$, $x=a,x=b$ quanh $Ox$, bán kính đĩa là $|f(x)|$:

Nếu miền nằm cùng một phía của trục quay và tạo vành khăn có bán kính ngoài $R(x)$, bán kính trong $r(x)$, $R\ge r\ge 0$, thì:

Với $f\ge g\ge 0$, có thể đặt $R=f,r=g$. Nếu miền cắt trục quay, phải xác định lại bán kính theo khoảng cách đến trục, không áp dụng máy móc hiệu hai bình phương của hai đường biên.

6. Các mô hình thường gặp

• Khối nón: chiều cao $h$, bán kính đáy $r$, $V=\pi r^{2}h/3$, có thể suy ra bằng tích phân các đĩa.
• Khối cầu: bán kính $R$, $V=4\pi R^3/3$.
• Chỏm cầu: bán kính cầu $R$, chiều cao chỏm $h$ với $0\le h\le 2R$, $V=\pi {\int }_{R-h}^R(R^2-x^2)dx=\pi h^2(R-h/3)$.
• Vòm parabol: nếu khẩu độ $w$, chiều cao $h$, diện tích mặt cắt là $2wh/3$. Thể tích cầu, đường hầm hoặc phần rỗng được tính từ mặt cắt và chiều dài; phần vật liệu bằng phần ngoài trừ phần rỗng.
• Đường cong Lorenz trong bài toán mô hình: trên khoảng chuẩn hóa $[0;1]$, nếu cho $0\le L(x)\le x$, diện tích giữa đường $y=x$ và $y=L(x)$ bằng ${\int }_0^1[x-L(x)]dx$.

7. Sơ đồ chọn công thức và sai lầm thường gặp

Đơn vị diện tích là bình phương đơn vị dài; đơn vị thể tích là lập phương đơn vị dài. Nếu đổi m sang cm, diện tích nhân ${10}^4$, thể tích nhân ${10}^6$. Một lít bằng $1000$ cm³ hoặc $0,001$ m³.