Phương trình mặt phẳng trong không gian

1. Ôn công cụ vectơ trong không gian

Với $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$. Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ bằng trung bình cộng tọa độ hai đầu mút.

Cho $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2;u_3),\overrightarrow{v}=(v_1;v_2;v_3)$. Khi đó $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$, $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$. Hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc khi tích vô hướng bằng $0$; cùng phương khi $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$ với $k\ne 0$.

Tích có hướng:

Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ. Đổi thứ tự hai vectơ làm đổi dấu tích có hướng, nhưng không đổi mặt phẳng được xác định.

2. Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng

Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mọi $k\overrightarrow{n}$, $k\ne 0$, cũng là vectơ pháp tuyến. Hai vectơ không cùng phương có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$ tạo thành một cặp vectơ chỉ phương; tích có hướng của chúng là một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$, có pháp tuyến $(A;B;C)$, có phương trình:

Dạng tổng quát: $(P):Ax+By+Cz+D=0$, với $A^2+B^2+C^2>0$. Một điểm thuộc mặt phẳng khi thay tọa độ vào vế trái được $0$. Các phương trình thu được bằng cách nhân toàn bộ hệ số với cùng một số khác $0$ biểu diễn cùng mặt phẳng.

3. Các cách lập phương trình mặt phẳng

• Qua một điểm, biết pháp tuyến: thay vào công thức điểm–pháp tuyến.
• Qua một điểm, biết hai hướng: tính $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$, rồi dùng điểm đã cho.
• Qua ba điểm không thẳng hàng: dùng $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$. Phải kiểm tra tích có hướng khác $\overrightarrow{0}$.
• Qua các giao điểm với ba trục: nếu $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$, $abc\ne 0$, thì $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.
• Mặt phẳng trung trực của $AB$: qua trung điểm $I$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm pháp tuyến.
• Qua $M$ và song song với $(Q)$: dùng pháp tuyến của $(Q)$; thay $M$ để tìm hệ số tự do. Muốn song song phân biệt thì $M\notin (Q)$.
• Chứa $AB$, vuông góc với $(Q)$: chọn $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times {\overrightarrow{n}}_Q$ khi tích này khác $\overrightarrow{0}$. Nếu $AB⟂(Q)$, có vô số mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với $(Q)$.
• Qua $M$, vuông góc với hai mặt phẳng có pháp tuyến không cùng phương: chọn $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{n}}_1\times {\overrightarrow{n}}_2$.

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Với $(P):Ax+By+Cz+D=0$, $(Q):A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }=0$:

• Nếu $(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime })=k(A;B;C)$: hai mặt phẳng trùng nhau khi $D^{\prime }=kD$, song song phân biệt khi $D^{\prime }\ne kD$.
• Nếu hai pháp tuyến không cùng phương: hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng.
• Hai mặt phẳng vuông góc khi $A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }=0$.

Không dùng tỉ số có mẫu bằng $0$. So sánh vectơ hoặc dùng tích có hướng sẽ an toàn hơn.

5. Khoảng cách, hình chiếu và điểm đối xứng

Với hai mặt phẳng song song đã đưa về cùng bộ hệ số $A,B,C$, khoảng cách bằng $\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Đặt $k=\frac{(A{x}_M+B{y}_M+C{z}_M+D)}{(A^2+B^2+C^2)}$. Hình chiếu của $M$ lên $(P)$ là $H=M-k\overrightarrow{n}$, điểm đối xứng của $M$ qua $(P)$ là $M^{\prime }=2H-M$.

6. Các mặt phẳng đặc biệt

$(Oxy):z=0$, $(Oxz):y=0$, $(Oyz):x=0$. Mặt phẳng qua $O$ có $D=0$. Nếu $A=0$, mặt phẳng song song hoặc chứa trục $Ox$; tương tự với $B=0,C=0$. Mặt phẳng $z=k$ song song với $(Oxy)$ khi $k\ne 0$, trùng $(Oxy)$ khi $k=0$.

7. Diện tích, thể tích bằng tích có hướng

Thể tích hình hộp tạo bởi ba vectơ cạnh là trị tuyệt đối tích hỗn tạp, không chia $6$. Bốn điểm đồng phẳng khi tích hỗn tạp bằng $0$.

8. Quy trình làm nhanh và lỗi cần tránh

Xác định rõ điểm đi qua → pháp tuyến → hệ số tự do → kiểm tra lại. Với trắc nghiệm, có thể thay điểm để loại phương án, nhưng vẫn phải kiểm tra điều kiện pháp tuyến. Không nhầm vectơ chỉ phương với pháp tuyến; không bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong khoảng cách; không kết luận hai mặt phẳng song song chỉ vì pháp tuyến cùng phương mà quên trường hợp trùng nhau.