Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ chỉ phương và phương trình đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ là một vectơ chỉ phương của $d$. Nếu $\overrightarrow{u}$ là chỉ phương thì mọi $k\overrightarrow{u}$, $k\ne 0$, cũng là chỉ phương.

Đường thẳng qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$, có chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)\ne \overrightarrow{0}$, có phương trình tham số:

Khi $abc\ne 0$, phương trình chính tắc là $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. Nếu một thành phần chỉ phương bằng $0$, giữ tọa độ tương ứng ở dạng hằng số; không viết phân số có mẫu $0$.

Muốn kiểm tra điểm $M$ thuộc đường thẳng, phải tìm được cùng một tham số thỏa cả ba phương trình. Tham số hình học không tự động là thời gian.

2. Các dạng lập phương trình đường thẳng

• Qua một điểm, biết chỉ phương: dùng ngay công thức tham số.
• Qua hai điểm $A,B$: chọn $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, với $A\ne B$.
• Qua $A$, song song với $d$: dùng chỉ phương của $d$.
• Qua $A$, vuông góc với $(P)$: dùng pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_P$ làm chỉ phương.
• Là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_1\times {\overrightarrow{n}}_2$; giải hệ hai phương trình để lấy một điểm trên giao tuyến.

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét $d_1:A+t\overrightarrow{u}$, $d_2:B+s\overrightarrow{v}$. Hai tham số $t,s$ phải được coi là độc lập.

• Nếu $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$: hai đường trùng nhau khi $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, song song phân biệt khi tích có hướng này khác $\overrightarrow{0}$.
• Nếu $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$: giải $A+t\overrightarrow{u}=B+s\overrightarrow{v}$. Có nghiệm chung thì hai đường cắt nhau; vô nghiệm thì hai đường chéo nhau.
• Cũng có thể kiểm tra đồng phẳng bằng $\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})=0$. Khi hai chỉ phương không cùng phương, tích hỗn tạp bằng $0$ tương đương hai đường cắt nhau.

Hai đường có góc bằng ${90}^{\circ }$ khi $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=0$; trong không gian chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Khi đề yêu cầu cắt và vuông góc, phải kiểm tra cả giao điểm.

4. Vị trí đường thẳng và mặt phẳng

Thay $M_0+t\overrightarrow{u}$ vào $(P):Ax+By+Cz+D=0$, được $\overrightarrow{n}·\overrightarrow{u}t+A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$.

• $\overrightarrow{n}·\overrightarrow{u}\ne 0$: có một giao điểm.
• $\overrightarrow{n}·\overrightarrow{u}=0$, $M_0\in (P)$: $d\subset (P)$.
• $\overrightarrow{n}·\overrightarrow{u}=0$, $M_0\notin (P)$: $d\parallel (P)$.
• $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$: $d⟂(P)$.

5. Ba công thức tính góc

Các góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng đều lấy trong $[0^{\circ };{90}^{\circ }]$.

Hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}|}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert }$.

Đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{u}·\overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{n}\Vert }$. Nếu hỏi cosin, tính $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.

Hai mặt phẳng: $\cos \beta =\frac{|{\overrightarrow{n}}_1·{\overrightarrow{n}}_2|}{\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert \Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert }$.

Nhớ: đường–mặt dùng sin; đường–đường và mặt–mặt dùng cos. Chọn chế độ độ (DEG) khi lấy góc trên máy tính. Chỉ làm tròn ở kết quả cuối.

6. Hình chiếu, khoảng cách và vuông góc chung

Hình chiếu $H$ của $A$ lên $d:M_0+t\overrightarrow{u}$ được tìm từ $(A-H)·\overrightarrow{u}=0$. Do đó $t_H=\frac{\overrightarrow{M_{0}A}·\overrightarrow{u}}{\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2}$.

Với hai đường chéo nhau có chỉ phương $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$, khoảng cách:

Để tìm đường vuông góc chung, đặt $H=A+t\overrightarrow{u}\in d_1$, $K=B+s\overrightarrow{v}\in d_2$; giải hệ $\overrightarrow{HK}·\overrightarrow{u}=0$, $\overrightarrow{HK}·\overrightarrow{v}=0$. Khi $H\ne K$, đường $HK$ là đường vuông góc chung. Độ dài $HK$ nhỏ nhất trong mọi đoạn nối hai đường. Với hai đường song song, dùng khoảng cách từ một điểm của đường này đến đường kia.

7. Bài toán hình học và chuyển động

Với hình hộp hoặc hình chóp có các cạnh vuông góc, chọn gốc tại một đỉnh thuận lợi và ba trục theo ba hướng vuông góc. Ghi tọa độ tất cả điểm trước khi tính vectơ.

Vật đi từ $A$, theo chiều $\overrightarrow{u}$, tốc độ $v>0$, có vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}=v\overrightarrow{u}/\Vert \overrightarrow{u}\Vert$. Sau $t\ge 0$ đơn vị thời gian: $M(t)=A+t\overrightarrow{v}$, quãng đường $s=vt$. Cần thống nhất đơn vị (m–s hoặc km–h), và nói rõ chiều chuyển động.

8. Lỗi thường gặp

Không lấy điểm đầu làm vectơ chỉ phương; không dùng cùng một tham số cho hai đường độc lập; không bỏ trị tuyệt đối trong công thức góc; không xem chỉ phương là vận tốc khi chưa chuẩn hóa. Khi đáp số phụ thuộc tọa độ một vectơ chỉ phương, phải nêu quy ước chuẩn hóa để vectơ được xác định duy nhất.