Phương trình mặt cầu trong không gian

1. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R>0$, là tập hợp các điểm $M$ thỏa $IM=R$. Phương trình chính tắc:

Dạng khai triển:

Điều kiện là $a^2+b^2+c^2-d>0$. Nếu bằng $0$, tập nghiệm chỉ có một điểm; nếu âm, không có điểm thực. Hai trường hợp này không phải mặt cầu có bán kính dương. Nếu hệ số của $x^2,y^2,z^2$ cùng bằng một số khác $0$, chia toàn bộ phương trình cho số đó trước khi đọc tâm. Các dạng đang xét không có hạng tử $xy,yz,zx$.

2. Xác định tâm và bán kính theo điều kiện

• Biết tâm $I$, đi qua $A$: $R=IA$.
• Đường kính $AB$: tâm là trung điểm $AB$, $R=AB/2$. Cũng có thể dùng $\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=0$.
• Qua bốn điểm không đồng phẳng: đặt tâm $I(a;b;c)$, dùng $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=I{D}^2$. Trừ các phương trình từng đôi để được hệ bậc nhất theo $a,b,c$, sau đó tính $R$.
• Tâm trên đường $d$: đặt $I=M_0+t\overrightarrow{u}$. Tâm trên mặt phẳng thì thêm điều kiện tọa độ của $I$ thỏa phương trình mặt phẳng. Ghép với các điều kiện khoảng cách để giải.

3. Vị trí của điểm đối với mặt cầu

So sánh $I{M}^2$ với $R^2$: nhỏ hơn thì điểm ở trong; bằng thì điểm trên mặt cầu; lớn hơn thì điểm ở ngoài. Để tránh tính căn không cần thiết, nên so sánh bình phương.

Mặt cầu chỉ là biên $IM=R$; khối cầu gồm cả phần trong và biên $IM\le R$. Trong mô hình phủ sóng hình cầu, dùng điều kiện $IM\le R$.

4. Mặt cầu và mặt phẳng

Gọi $h=d(I,(P))$. Nếu $h>R$: không có điểm chung; nếu $h=R$: tiếp xúc tại một điểm; nếu $h<R$: cắt theo một đường tròn.

Khi cắt theo đường tròn, tâm $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$, bán kính đường tròn:

Đường tròn lớn có $r=R$, xảy ra khi $(P)$ đi qua tâm $I$. Tiếp diện tại $M(x_0;y_0;z_0)$ trên mặt cầu có pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$:

Muốn lập mặt cầu có tâm đã biết và tiếp xúc $(P)$, lấy $R=d(I,(P))$; phải kiểm tra $R>0$. Nếu biết tiếp điểm $H$, tâm nằm trên đường qua $H$, vuông góc với $(P)$.

5. Mặt cầu và đường thẳng

Gọi $h=d(I,d)$. Nếu $h>R$: không cắt; nếu $h=R$: tiếp xúc; nếu $h<R$: cắt tại hai điểm $A,B$. Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình mặt cầu để tìm giao điểm.

Nếu $H$ là hình chiếu của $I$ lên $d$, thì $H$ là trung điểm dây $AB$, và:

Khoảng cách từ $I(a;b;c)$ đến $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{a^2+c^2},\sqrt{a^2+b^2}$. Khoảng cách đến $(Oxy),(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $|c|,|b|,|a|$.

6. Một số dạng vận dụng

• Mặt cầu tiếp xúc hai mặt phẳng song song: tâm nằm trên mặt phẳng trung gian và bán kính bằng nửa khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
• Mặt cầu tiếp xúc ba mặt phẳng tọa độ, tâm trong góc phần tám dương: tâm có dạng $(R;R;R)$. Không dùng dạng này nếu chưa biết tâm nằm về phía dương của cả ba trục.
• Khoảng cách từ điểm cố định $A$ đến các điểm trên mặt cầu: giá trị nhỏ nhất là $|AI-R|$, lớn nhất là $AI+R$.
• Quỹ tích tỉ số khoảng cách: với $MA=kMB$, $k>0,k\ne 1$, bình phương rồi khai triển để đưa về phương trình mặt cầu. Với $k=1$, quỹ tích là mặt phẳng trung trực của $AB$.
• Bán kính phụ thuộc tham số: xét $R^2$ để tìm điều kiện dương và cực trị; không quên loại $R=0$.

7. Mô hình thực tế và kiểm tra kết quả

Vùng phủ sóng, vùng cảm biến hoặc vùng chiếu sáng trong bài được mô hình hóa bằng khối cầu: xác định tâm, đổi đơn vị, so sánh khoảng cách với bán kính. Khi điểm chuyển động trên đường thẳng, thay tọa độ tham số vào bất đẳng thức $I{M}^2\le R^2$, rồi giải trong miền tham số cho phép.

Lỗi thường gặp: đổi nhầm dấu tọa độ tâm; đọc $R^2$ thành $R$; quên chia $2$ khi biết đường kính; dùng $R$ thay $R^2$ ở vế phải; nhầm bán kính đường tròn thiết diện với bán kính mặt cầu; trộn mét và kilômét. Sau khi lập phương trình, thay lại điểm đã cho và kiểm tra điều kiện tiếp xúc.