Xác suất có điều kiện

1. Ôn nhanh biến cố và phép đếm

Không gian mẫu $\Omega$ gồm các kết quả của phép thử. Biến cố $A$ là một tập con của $\Omega$. Biến cố đối $\bar{A}$ xảy ra khi $A$ không xảy ra; $A\cap B$ nghĩa là cả hai cùng xảy ra; $A\cup B$ nghĩa là ít nhất một trong hai xảy ra.

Trong mô hình hữu hạn có các kết quả đồng khả năng, $P(A)=n(A)/n(\Omega )$. Khi chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không xét thứ tự, dùng $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$. Khi rút lần lượt không hoàn lại và có xét thứ tự, số kết quả của hai lần rút là $n(n-1)$.

2. Xác suất có điều kiện

$P(A\mid B)$ là xác suất của $A$ khi đã biết $B$ xảy ra. Ta chỉ xét những kết quả thuộc $B$; trong số đó, kết quả thuận lợi thuộc $A\cap B$.

Nếu các kết quả ban đầu đồng khả năng thì $P(A\mid B)=n(A\cap B)/n(B)$. Mẫu số phải đếm nhóm đã biết, không phải toàn bộ $\Omega$. Trong chương trình này, công thức không xác định khi $P(B)=0$.

Nhìn cụm “biết rằng”, “trong số”, “với điều kiện”: thông tin đứng sau cụm đó thường là biến cố đặt sau dấu $\mid$. Ví dụ “đạt điểm cao, biết học sinh là nữ” được viết $P(\text{điểm cao}\mid \text{nữ})$.

3. Công thức nhân xác suất

Mỗi tích chỉ dùng khi xác suất có điều kiện trong tích xác định. Với ba giai đoạn, $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)$, nếu các điều kiện có xác suất dương. Khi rút không hoàn lại, số vật trong hộp và thành phần màu thay đổi sau mỗi lần rút.

4. Biến cố đối trong cùng điều kiện

Dấu đối nằm ở biến cố cần tính, còn điều kiện $B$ giữ nguyên. Không được suy ra $P(A\mid \bar{B})=1-P(A\mid B)$. Công thức phân rã $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})$ giúp tìm các ô còn thiếu trong bảng hai chiều.

5. Độc lập và xung khắc

Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập. Nếu $A,B$ độc lập thì các cặp $(\bar{A},B)$, $(A,\bar{B})$, $(\bar{A},\bar{B})$ cũng độc lập. Tính độc lập phải được cho hoặc chứng minh, không được tự giả định.

6. Bảng hai chiều và sơ đồ cây

Với bảng hai chiều, tổng của hàng hoặc cột chứa điều kiện là mẫu số. Với sơ đồ cây, tổng các xác suất xuất phát từ một nút bằng 1. Xác suất một đường đi bằng tích trên đường đi; xác suất một biến cố gồm các đường đi rời nhau bằng tổng các tích tương ứng.

7. Quy trình làm bài và kiểm tra nhanh

1. Đặt biến cố, chỉ rõ điều kiện đã biết.
2. Chọn cách đếm, bảng hoặc cây phù hợp.
3. Viết công thức trước khi thay số; rút gọn phân số rồi mới làm tròn.
4. Kiểm tra xác suất thuộc $[0;1]$. Kiểm tra $max(0,P(A)+P(B)-1)\le P(A\cap B)\le min(P(A),P(B))$.

Mẹo tính: khi điều kiện đã làm rõ thành phần còn lại của hộp, tính trực tiếp bằng “số vật thuận lợi/số vật còn lại”. Với “ít nhất một”, thường tính 1 trừ xác suất không có lần nào thành công. Máy tính giúp tính phân số, tổ hợp và số thập phân; việc xác định đúng mẫu số vẫn phải làm trước.

Lỗi cần tránh: nhầm $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$; nhầm xác suất giao với xác suất có điều kiện; không giảm số vật khi rút không hoàn lại; coi các thành phần màu chưa biết là đồng khả năng; nhầm “lớn hơn 10” với “ít nhất 10”.