Tải PDF · Chương 6

Đề cương46 trang Đáp án37 trang

PDF toàn học kỳ

Đề cương toàn học kỳ II146 trang Đáp án toàn học kỳ II109 trang

Gia Sư SV biên soạn lại · 2026–2027

TOÁN 12 · HỌC KỲ II · 2026–2027

Công thức xác suất toàn phần và Bayes

Chia trường hợp bằng công thức toàn phần và suy ngược xác suất bằng công thức Bayes.

12 ô nhớ10 ví dụ có lời giải60 bài tập

Ôn và đọc lý thuyết

Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ

Bấm từng ô trống và chọn nội dung phù hợp. Bấm Kiểm tra để xem kết quả; chuyển sang Đọc lý thuyết khi cần ôn lại công thức.

Trong công thức toàn phần theo B, hai nhóm được dùng là …….
$P (A)$ bằng …….
Tổng các trọng số của một hệ biến cố đầy đủ bằng …….
Công thức Bayes thường dùng để tìm …….
Mẫu số của $P (B ∣ A)$ là …….
Tử số của $P (B ∣ A)$ có thể viết …….
Nếu $P (A ∣ B) = 0, 7$ thì $P (\overset{―}{A} ∣ B)$ bằng …….
Chọn đều một trong ba hộp thì trọng số mỗi hộp là …….
Nếu chỉ biết số vật trong các hộp nhưng chưa biết cách chọn hộp, trọng số chọn hộp …….
Khi tỉ lệ xảy ra A trong mọi nhóm đều là q, xác suất toàn phần $P (A)$ bằng …….
Trong Bayes, nếu mẫu số bằng 0 thì …….
Nên làm tròn kết quả …….

Đọc lý thuyết đầy đủ

1. Công thức xác suất toàn phần

Giả sử $0 < P (B) < 1$ . Muốn tính xác suất $A$ , chia các khả năng thành hai nhóm rời nhau $B$ và $\overset{―}{B}$ , rồi cộng đóng góp của từng nhóm.

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{―}{B}) P (A ∣ \overset{―}{B}) .

Đây là trung bình có trọng số của hai xác suất có điều kiện. Hai trọng số cộng bằng 1. Không được cộng thẳng hai xác suất có điều kiện hoặc lấy trung bình cộng khi hai nhóm có kích thước khác nhau.

2. Nhiều nhóm nguyên nhân

Nếu $H_{1}, \dots, H_{n}$ đôi một xung khắc, hợp thành $Ω$ và mỗi nhóm có xác suất dương, thì

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (H_{i}) P (A ∣ H_{i}) .

Ví dụ các nhà máy cung ứng một mặt hàng hoặc các hộp có thành phần khác nhau. Phải phân biệt “chọn đều một hộp rồi chọn một vật” với “gộp mọi vật rồi chọn đều một vật”: hai cách cho trọng số khác nhau khi số vật trong các hộp khác nhau.

3. Công thức Bayes

Khi đã biết kết quả $A$ , Bayes giúp tính xác suất nó đến từ nhóm $B$ . Với $P (A) > 0$ , $0 < P (B) < 1$ :

P (B ∣ A) = \frac{P (B) P (A ∣ B)}{P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{―}{B}) P (A ∣ \overset{―}{B})} .

Nếu đã biết $P (A)$ , dùng dạng ngắn $P (B ∣ A) = P (B) P (A ∣ B) / P (A)$ . Với nhiều nhóm:

P (H_{j} ∣ A) = \frac{P (H_{j}) P (A ∣ H_{j})}{\sum_{i = 1}^{n} P (H_{i}) P (A ∣ H_{i})} .

Cách nhớ: tử số là xác suất đường đi phù hợp với nguyên nhân cần tìm; mẫu số là tổng xác suất tất cả đường đi tạo ra kết quả đã biết.

4. Bảng bốn ô

Đặt $p = P (B)$ , $u = P (A ∣ B)$ , $v = P (A ∣ \overset{―}{B})$ . Bảng giúp giữ đúng mẫu số và biến cố đối:

Nhóm	$A$	$\overset{―}{A}$	Tổng
$B$	$p u$	$p (1 - u)$	$p$
$\overset{―}{B}$	$(1 - p) v$	$(1 - p) (1 - v)$	$1 - p$
Tổng	$p u + (1 - p) v$	$p (1 - u) + (1 - p) (1 - v)$	1

Chẳng hạn $P (B ∣ A) = p u / [p u + (1 - p) v]$ , còn $P (B ∣ \overset{―}{A}) = p (1 - u) / [p (1 - u) + (1 - p) (1 - v)]$ , nếu mẫu số dương.

5. Các dạng bài thường gặp

Chọn nhóm rồi chọn vật: viết trọng số chọn nhóm; tính xác suất trong từng nhóm.
Chuyển vật giữa hai hộp: phân nhánh theo màu hoặc số vật được chuyển; cập nhật cả tử và mẫu.
Kiểm tra, phân loại, lọc thư: phân biệt tỉ lệ đúng trong một nhóm với xác suất thuộc nhóm sau khi đã có kết quả kiểm tra.
Lấy không hoàn lại: xác suất trong một nhánh thường dùng tổ hợp; không dùng lũy thừa xác suất của một lần rút.
Chuyển trạng thái: tính lần tiếp theo bằng tổng các nhánh đi từ từng trạng thái hiện tại.
Tìm tham số: lập phương trình từ công thức toàn phần và kiểm tra nghiệm thuộc $[0; 1]$ .

6. Quy trình 4 bước

Đặt biến cố nguyên nhân và kết quả; viết rõ các xác suất có điều kiện.
Vẽ cây hoặc lập bảng; kiểm tra trọng số và các cặp nhánh đối cộng bằng 1.
Dùng toàn phần tính kết quả chung. Nếu đề hỏi nguyên nhân khi đã biết kết quả, chia tử số thích hợp cho kết quả chung.
Kiểm tra phạm vi, tổng các xác suất hậu nghiệm bằng 1; chỉ làm tròn ở bước cuối.

Mẹo kiểm tra: $P (A)$ phải nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các $P (A ∣ H_{i})$ . Nếu kết quả có xác suất như nhau ở mọi nhóm, kết quả ấy không làm đổi tỉ lệ nhóm. Nếu một nhóm là nhóm duy nhất có thể tạo ra kết quả đã biết, xác suất hậu nghiệm của nhóm đó bằng 1.

Lỗi cần tránh: đảo điều kiện mà giữ nguyên xác suất; quên nhóm đối; dùng trọng số 1/2 khi hai nhóm không được chọn đều; tự giả định các lần kiểm tra độc lập; lấy tỉ lệ “đúng” chung làm cả độ nhạy và độ đặc hiệu. Các bài kiểm tra trong chương sử dụng mô hình và số liệu giả định để luyện xác suất.

Ví dụ và hướng dẫn giải theo dạng

Thử tự giải trước, rồi mở hướng dẫn để đối chiếu từng bước.

Ví dụ 1 · Dạng 1. Tính toàn phần bằng hai nhánh

Cho $P (B) = 0, 1$ , $P (A ∣ B) = 0, 3$ , $P (A ∣ \overset{―}{B}) = 0, 6$ . Tính $P (A)$ .

Xem hướng dẫn giải

$P (\overset{―}{B}) = 0, 9$ . Công thức toàn phần cho $P (A) = 0, 1 \cdot 0, 3 + 0, 9 \cdot 0, 6 = 0, 57$ . Kết quả nằm giữa 0,3 và 0,6.

Ví dụ 2 · Dạng 1. Đảo điều kiện bằng Bayes

Cho $P (B) = 0, 2$ , $P (A ∣ B) = 0, 5$ , $P (A ∣ \overset{―}{B}) = 0, 4$ . Tính $P (B ∣ A)$ .

Xem hướng dẫn giải

Tính mẫu số trước: $P (A) = 0, 2 \cdot 0, 5 + 0, 8 \cdot 0, 4 = 0, 42$ . Tử số là $P (A \cap B) = 0, 1$ . Vậy $P (B ∣ A) = 0, 1 / 0, 42 = 5 / 21$ .

Ví dụ 3 · Dạng 1. Đọc đủ nhánh đối

Cho $P (B) = 0, 8$ , $P (A ∣ B) = 0, 7$ , $P (A ∣ \overset{―}{B}) = 0, 45$ . Tính $P (A)$ , $P (B ∣ A)$ và $P (\overset{―}{B} ∣ A)$ .

Xem hướng dẫn giải

$P (A) = 0, 8 \cdot 0, 7 + 0, 2 \cdot 0, 45 = 0, 65$ . Do đó $P (B ∣ A) = 0, 56 / 0, 65 = 56 / 65$ , $P (\overset{―}{B} ∣ A) = 0, 09 / 0, 65 = 9 / 65$ . Hai xác suất sau cộng bằng 1.

Ví dụ 4 · Dạng 2. Phân biệt tỉ lệ trong nhóm và tỉ lệ đồng thời

Trong một nhóm học sinh, 60% là nam. Trong số nam, 30% biết chơi nhạc cụ; trong số nữ, 15% biết chơi nhạc cụ. Tính xác suất một học sinh chọn ngẫu nhiên biết chơi nhạc cụ.

Xem hướng dẫn giải

Đặt M là biến cố nam, N là biến cố biết chơi nhạc cụ. Dữ kiện là $P (M) = 0, 6$ , $P (N ∣ M) = 0, 3$ , $P (N ∣ \overset{―}{M}) = 0, 15$ . Vậy $P (N) = 0, 6 \cdot 0, 3 + 0, 4 \cdot 0, 15 = 0, 24$ . Cụm “trong số nam” biểu thị điều kiện, không phải xác suất đồng thời.

Ví dụ 5 · Dạng 2. Chọn học sinh theo cơ cấu nhóm

Một trường có 53% học sinh nữ. Trong số nữ, 21% tham gia câu lạc bộ nghệ thuật; trong số nam, tỉ lệ tương ứng là 17%. Tính tỉ lệ tham gia chung.

Xem hướng dẫn giải

Tỉ lệ nam là 47%. Xác suất tham gia là $0, 53 \cdot 0, 21 + 0, 47 \cdot 0, 17 = 0, 1912$ , tương ứng 19,12%. Không lấy $(21 % + 17 %) / 2$ vì hai nhóm không bằng nhau.

Ví dụ 6 · Dạng 2. Ba nguồn cung ứng

Ba xưởng cung cấp 40%, 35%, 25% sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm lỗi tại từng xưởng lần lượt là 1%, 2%, 4%. Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm lỗi.

Xem hướng dẫn giải

Các xưởng tạo thành ba nhóm rời nhau. Xác suất lỗi chung là $0, 4 \cdot 0, 01 + 0, 35 \cdot 0, 02 + 0, 25 \cdot 0, 04 = 0, 021$ , tức 2,1%.

Ví dụ 7 · Dạng 2. Chuyển một vật giữa hai hộp

Hộp I có 2 bi đỏ, 3 bi xanh; hộp II có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên một bi từ I sang II rồi lấy một bi từ II. Tính xác suất bi lấy cuối cùng đỏ.

Xem hướng dẫn giải

Chuyển đỏ có xác suất $2 / 5$ , khi đó hộp II có 5 đỏ trong 10 bi. Chuyển xanh có xác suất $3 / 5$ , khi đó có 4 đỏ trong 10 bi. Toàn phần: $P (đỏ cuối) = (2 / 5) (5 / 10) + (3 / 5) (4 / 10) = 11 / 25$ .

Ví dụ 8 · Dạng 3. Tín hiệu bị nhiễu

Một trạm phát A với xác suất 0,85 và B với xác suất 0,15. Tín hiệu A bị đọc thành B với xác suất 1/7; tín hiệu B bị đọc thành A với xác suất 1/8. Tính xác suất nhận được A và xác suất tín hiệu gốc là A khi đã nhận A.

Xem hướng dẫn giải

Khi phát A, xác suất đọc đúng A là $6 / 7$ . Do đó $P (nhận A) = (17 / 20) (6 / 7) + (3 / 20) (1 / 8) = 837 / 1120$ . Theo Bayes, $P (phát A ∣ nhận A) = [(17 / 20) (6 / 7)] / (837 / 1120) = 272 / 279$ .

Ví dụ 9 · Dạng 3. Hiểu tỉ lệ nền bằng bảng số lượng

Trong mô hình kiểm tra giả định, 2% sản phẩm có lỗi ẩn. Máy báo lỗi ở 90% sản phẩm có lỗi và ở 5% sản phẩm tốt. Một sản phẩm bị báo lỗi. Tính xác suất nó thực sự có lỗi.

Xem hướng dẫn giải

Tưởng tượng 10.000 sản phẩm: 200 lỗi, 9.800 tốt. Có 180 sản phẩm lỗi bị báo và 490 sản phẩm tốt bị báo. Trong 670 sản phẩm bị báo, 180 thực sự lỗi. Xác suất là $180 / 670 = 18 / 67$ , cũng bằng $(0, 02 \cdot 0, 9) / (0, 02 \cdot 0, 9 + 0, 98 \cdot 0, 05)$ .

Ví dụ 10 · Dạng 3. Tìm tham số bằng toàn phần

Hai lớp A và B cùng làm bài kiểm tra. Tỉ lệ đạt ở lớp A là 80%, ở lớp B là 50%, toàn bộ hai lớp là 62%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong hai lớp, tính xác suất học sinh thuộc lớp A.

Xem hướng dẫn giải

Gọi xác suất cần tìm là $x$ . Khi đó $0, 62 = 0, 8 x + 0, 5 (1 - x)$ , suy ra $0, 3 x = 0, 12$ và $x = 0, 4$ . Nghiệm thuộc $[0; 1]$ , phù hợp yêu cầu.

Làm đầy đủ 60 bài tập

23 câu trắc nghiệm · 9 câu đúng / sai · 19 câu trả lời ngắn · 9 câu tự luận.

Luyện từ nhận biết đến vận dụng, rồi đối chiếu lời giải để tìm bước còn nhầm. Có thể dùng bản đề cương PDF để trình bày bài làm trên giấy.

Mở 60 bài tập và lời giải →