GIA SƯ SV · TOÁN 9 · CHƯƠNG 1

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: chọn ẩn, lập bảng, kiểm nghiệm

Khó nhất thường là chuyển lời văn thành hai quan hệ độc lập. Hãy ghi rõ mỗi ẩn biểu diễn đại lượng nào, chọn cùng đơn vị, rồi kiểm xem nghiệm tìm được có trả lời đúng câu hỏi thực tế hay không.

1. Từ dữ kiện đến hệ phương trình

1. Chọn ẩn và điều kiện: số người, số vé thường là số nguyên không âm; chiều dài và thời gian phải dương.
2. Lập bảng đại lượng: ghi đại lượng đã biết, chưa biết và công thức liên hệ.
3. Viết hai phương trình: mỗi phương trình phải giải thích được bằng một dữ kiện.
4. Giải hệ: chọn thế hoặc cộng theo hệ số.
5. Đối chiếu bối cảnh: kiểm điều kiện, đơn vị và cả hai dữ kiện; trả lời bằng lời.

2. Ví dụ: số vé và tổng tiền

Một nhóm mua 12 vé gồm loại A giá 20 nghìn đồng và loại B giá 30 nghìn đồng, tổng cộng 310 nghìn đồng. Hỏi nhóm mua bao nhiêu vé mỗi loại?

Gọi $x,y$ lần lượt là số vé A và B; $x,y$ là các số nguyên không âm, không lớn hơn 12. Chọn đơn vị tiền là nghìn đồng.

1. Tổng số vé cho $x+y=12$; tổng tiền cho $20x+30y=310$.
2. Chia phương trình tiền cho 10: $2x+3y=31$. Lấy phương trình này trừ hai lần $x+y=12$, được $y=7$.
3. Suy ra $x=12-7=5$. Hai số đều nguyên không âm.
4. Kiểm: $5+7=12$ vé và $20·5+30·7=310$ nghìn đồng.

Nhóm mua 5 vé loại A và 7 vé loại B. Có thể kiểm nhanh tính hợp lí: tổng tiền phải nằm từ $12·20=240$ đến $12·30=360$ nghìn đồng; 310 nằm trong khoảng này. Kiểm khoảng chỉ giúp phát hiện sai sót, không thay thế giải hệ.

3. Ví dụ: chuyển động và đơn vị thời gian

Hai xe xuất phát cùng lúc từ A và B, đi ngược chiều trên quãng đường 150 km và gặp nhau sau 1 giờ 30 phút. Vận tốc xe từ A lớn hơn xe từ B 10 km/h; coi mỗi xe giữ vận tốc không đổi. Tính vận tốc mỗi xe.

1. Gọi $x,y$ là vận tốc hai xe, đơn vị km/h, $x>y>0$. Đổi 1 giờ 30 phút thành $\frac{3}{2}$ giờ.
2. Quãng đường mỗi xe là $\frac{3}{2}x$ và $\frac{3}{2}y$ km. Khi gặp nhau, tổng hai quãng đường bằng 150: $\frac{3}{2}(x+y)=150$. Dữ kiện hơn 10 km/h cho $x-y=10$.
3. Hệ trở thành $x+y=100$, $x-y=10$. Cộng theo vế được $2x=110$, nên $x=55$, $y=45$.
4. Thử lại: $55-45=10$ km/h; $\frac{3}{2}·55+\frac{3}{2}·45=82,5+67,5=150$ km.

Hai vận tốc là 55 km/h và 45 km/h. Không viết 1 giờ 30 phút thành 1,30 giờ. Với chuyển động cùng chiều đuổi nhau, quan hệ quãng đường sẽ khác; cần vẽ hướng đi trước khi lập hệ.

4. Ví dụ: chọn năng suất làm ẩn

Hai vòi có lưu lượng không đổi. Cùng mở thì sau $\frac{12}{5}$ giờ đầy một bể rỗng. Nếu riêng vòi thứ nhất chảy 2 giờ và riêng vòi thứ hai chảy 3 giờ, tổng lượng nước bằng một bể. Bỏ qua rò rỉ, hỏi mỗi vòi chảy riêng bao lâu thì đầy bể?

1. Gọi $u,v>0$ là phần bể mỗi vòi chảy trong một giờ. Khi cùng mở, năng suất là $u+v=\frac{5}{12}$ bể/giờ. Dữ kiện thứ hai cho $2u+3v=1$.
2. Lấy phương trình sau trừ hai lần phương trình đầu: $v=1-\frac{10}{12}=\frac{1}{6}$.
3. Suy ra $u=\frac{5}{12}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$. Thời gian làm riêng là $1/u=4$ giờ và $1/v=6$ giờ.
4. Kiểm: $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$; trong 2 giờ và 3 giờ, lượng nước là $2·\frac{1}{4}+3·\frac{1}{6}=1$ bể.

Vòi thứ nhất cần 4 giờ, vòi thứ hai cần 6 giờ. Cộng năng suất, không cộng thời gian làm riêng. Chọn năng suất làm ẩn giúp hệ giữ dạng bậc nhất.

5. Ví dụ: tỉ lệ phần trăm theo khối lượng

Trộn hai dung dịch cùng chất tan có nồng độ khối lượng 20% và 50% để được 300 g dung dịch 32%. Giả sử không mất khối lượng và không có phản ứng làm thay đổi lượng chất tan. Cần bao nhiêu gam mỗi loại?

1. Gọi $x,y>0$ là khối lượng hai dung dịch, đơn vị g. Tổng khối lượng: $x+y=300$.
2. Khối lượng chất tan: $0,20x+0,50y=0,32·300=96$.
3. Trừ phương trình chất tan cho 0,20 lần phương trình tổng: $0,30y=36$, nên $y=120$, $x=180$.
4. Kiểm: $180+120=300$ g; lượng chất tan $36+60=96$ g, chiếm $96/300=32\%$.

Cần 180 g dung dịch 20% và 120 g dung dịch 50%. Không thay khối lượng bằng thể tích nếu đề chưa cho khối lượng riêng hoặc giả thiết phù hợp.

Lỗi thường gặp và câu hỏi tự kiểm

• Hai phương trình chỉ là bội của nhau: đã dùng hai dữ kiện độc lập chưa?
• Nghiệm âm hoặc số vé không nguyên: có sai quan hệ hoặc dữ kiện không phù hợp không?
• Đổi tên ẩn giữa chừng: mỗi kí hiệu có giữ nguyên nghĩa và đơn vị không?
• Đáp số đúng nhưng thiếu kết luận: đã viết rõ loại vé, xe hay vòi nào chưa?

Luyện tập và ôn lại

Mở bộ luyện bài này tại Thư viện Luyện tập · Bản đồ kiến thức và luyện tổng hợp Chương 1

Nội dung học tập và hình minh họa: Gia Sư SV.