Toán 9 – Bài 1 – Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết phương trình hai ẩn, nghiệm và ý nghĩa giao điểm. Cần biết phương trình một ẩn và tọa độ điểm.

Định nghĩa

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by=c, trong đó a,b,c là số và a,b không đồng thời bằng 0. Cặp (x₀;y₀) là nghiệm nếu ax₀+by₀=c. Một phương trình như vậy có vô số nghiệm biểu diễn bởi một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nếu b≠0, viết y=−(a/b)x+c/b; nếu b=0 thì a≠0 và x=c/a là đường thẳng đứng.

Hệ hai phương trình yêu cầu cùng một cặp (x;y) thỏa cả hai phương trình. Tập nghiệm là giao của hai đường biểu diễn: cắt nhau cho một nghiệm; song song phân biệt cho vô nghiệm; trùng nhau cho vô số nghiệm.

Phương pháp và ghi nhớ

Thử một cặp số bằng cách thay vào cả hai phương trình, giữ đúng thứ tự x,y. Muốn nhận biết loại phương trình, kiểm số mũ và tích ẩn: x², xy hoặc 1/x không thuộc dạng bậc nhất hai ẩn. Một nghiệm của phương trình thứ nhất chưa chắc là nghiệm hệ. Khi xét bằng hệ số, tránh viết tỉ số có mẫu 0; có thể chuyển về so sánh phương trình tương đương hoặc dùng phương pháp giải ở bài kế tiếp.

Luyện tập bài này

• Bài 01. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Toán 9 – Bài 2 – Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu và kiến thức nền

Giải hệ bằng thế/cộng đại số và giải thích số nghiệm. Cần biết biến đổi đẳng thức và phép toán số hữu tỉ.

Phương pháp thế

Từ một phương trình biểu diễn một ẩn theo ẩn kia bằng cách chia cho hệ số khác 0. Thay biểu thức đó vào phương trình còn lại, giải phương trình một ẩn, rồi thế ngược để tìm ẩn thứ hai. Chọn phương trình có hệ số 1 hoặc −1 thường giảm phân số.

Phương pháp cộng đại số

Nhân một hoặc cả hai phương trình với hằng số khác 0 để hệ số một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau; trừ hoặc cộng hai phương trình để khử ẩn ấy. Giải ẩn còn lại và thế ngược. Phải nhân mọi số hạng của một phương trình, kể cả vế phải.

Trường hợp đặc biệt

Nếu sau khử nhận 0=k với k≠0, hệ vô nghiệm. Nếu nhận 0=0, hai phương trình phụ thuộc; dùng một phương trình còn lại mô tả toàn bộ nghiệm bằng tham số. Không kết luận “x=0,y=0” từ đẳng thức 0=0.

Ghi nhớ

Viết nghiệm theo cặp có thứ tự và thay lại cả hai phương trình để soát phép biến đổi. Với hệ chứa tham số, xét riêng giá trị làm hệ số dùng để chia bằng 0. Có thể dùng máy tính để kiểm kết quả nhưng lời giải vẫn cần các phép biến đổi xác định được số nghiệm.

Luyện tập bài này

• Bài 02. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Toán 9 – Bài 3 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Mục tiêu và kiến thức nền

Chuyển hai quan hệ thực tế thành hệ và chọn nghiệm phù hợp. Cần biết tốc độ, năng suất, phần trăm và công thức hình học cơ bản.

Quy trình

Chọn hai ẩn có đơn vị và điều kiện; biểu diễn các đại lượng còn lại; dùng hai quan hệ độc lập để lập hệ; giải; kiểm điều kiện và trả lời bằng lời. Điều kiện có thể là dương, nguyên, nhỏ hơn tổng hoặc một giới hạn thực tế.

Các mô hình thường gặp

Chuyển động: quãng đường = vận tốc × thời gian; chuyển động ngược chiều thì tốc độ thu hẹp khoảng cách là tổng, cùng chiều đuổi nhau là hiệu khi chiều chuyển động đã xác định. Công việc: năng suất × thời gian = khối lượng công việc; hoàn thành một việc trong a giờ thì năng suất là 1/a việc/giờ. Pha trộn: lượng thành phần = tỷ lệ × tổng lượng, cần thống nhất đơn vị và xét thất thoát nếu có. Số có hai chữ số: 10x+y với x là hàng chục, y hàng đơn vị.

Phương pháp và ghi nhớ

Lập bảng đại lượng để mỗi hàng có cùng đơn vị. Khi đề thay đổi giá hoặc số lượng, phân biệt trước–sau và phần trăm tăng/giảm lấy trên mốc nào. Hai phương trình phải xuất phát từ hai dữ kiện, không chỉ là hai dạng viết của cùng một quan hệ. Nghiệm âm, thời gian 0 hoặc số người không nguyên phải loại nếu trái thực tế; không làm tròn nghiệm vô lí để nhận kết quả.

Luyện tập bài này

• Bài 03. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình