GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Mục tiêu và kiến thức nền
Giải hệ bằng thế/cộng đại số và giải thích số nghiệm. Cần biết biến đổi đẳng thức và phép toán số hữu tỉ.
Phương pháp thế
Từ một phương trình biểu diễn một ẩn theo ẩn kia bằng cách chia cho hệ số khác 0. Thay biểu thức đó vào phương trình còn lại, giải phương trình một ẩn, rồi thế ngược để tìm ẩn thứ hai. Chọn phương trình có hệ số 1 hoặc −1 thường giảm phân số.
Phương pháp cộng đại số
Nhân một hoặc cả hai phương trình với hằng số khác 0 để hệ số một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau; trừ hoặc cộng hai phương trình để khử ẩn ấy. Giải ẩn còn lại và thế ngược. Phải nhân mọi số hạng của một phương trình, kể cả vế phải.
Trường hợp đặc biệt
Nếu sau khử nhận 0=k với k≠0, hệ vô nghiệm. Nếu nhận 0=0, hai phương trình phụ thuộc; dùng một phương trình còn lại mô tả toàn bộ nghiệm bằng tham số. Không kết luận “x=0,y=0” từ đẳng thức 0=0.
Ghi nhớ
Viết nghiệm theo cặp có thứ tự và thay lại cả hai phương trình để soát phép biến đổi. Với hệ chứa tham số, xét riêng giá trị làm hệ số dùng để chia bằng 0. Có thể dùng máy tính để kiểm kết quả nhưng lời giải vẫn cần các phép biến đổi xác định được số nghiệm.
Công thức trọng tâm
Cộng theo vế để khử y, sau đó thế ngược và kiểm lại cả hai phương trình.
Ví dụ có lời giải từng bước
Giải hệ x + y = 5 và 2x − y = 1 bằng cộng đại số.
- Cộng hai phương trình theo vế: 3x = 6, suy ra x = 2.
- Thế x = 2 vào x + y = 5, được y = 3.
- Thử lại cả hai phương trình: 2 + 3 = 5 và 4 − 3 = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;3).
Phép cộng khử một ẩn phải kết hợp với một phương trình của hệ để suy ra và kiểm cả hai ẩn.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Hệ x + y = 2, 2x + 2y = 5 có nghiệm không?
Không. Lấy phương trình thứ hai trừ hai lần phương trình thứ nhất cho 0 = 1, vô lí.
Hệ x + y = 2, 2x + 2y = 4 có chỉ nghiệm (0;2) không?
Không. Có vô số nghiệm (t; 2 − t), với t là số thực, vì hai phương trình tương đương.
Tóm tắt và học tiếp
Phép cộng khử một ẩn phải kết hợp với một phương trình của hệ để suy ra và kiểm cả hai ẩn.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.