GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Đường thẳng và đường tròn, tiếp tuyến lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập
Mục tiêu và kiến thức nền
Nhận biết tiếp tuyến, dùng bán kính vuông góc và hai tiếp tuyến cùng xuất phát. Cần biết khoảng cách điểm–đường và tam giác vuông.
Vị trí tương đối
Đặt d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a, R là bán kính. Nếu d>R thì không giao; d=R thì a là tiếp tuyến, có một điểm chung; d<R thì cắt tại hai điểm. Tiếp tuyến tại A vuông góc OA. Ngược lại, đường qua A thuộc đường tròn và vuông góc OA là tiếp tuyến tại A.
Hai tiếp tuyến
Từ điểm M ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA,MB. Khi đó MA=MB; OM là phân giác góc AMB, đồng thời là phân giác góc AOB thích hợp trong hình. OA⊥MA, OB⊥MB tạo các tam giác vuông có cạnh huyền OM chung và bán kính bằng nhau.
Phương pháp
Chứng minh tiếp tuyến bằng hai bước: điểm tiếp xúc thuộc đường tròn và đường thẳng vuông góc bán kính tại đó. Tính đoạn tiếp tuyến bằng MA²=MO²−R² khi M ngoài. Muốn chứng minh đoạn bằng nhau hoặc góc bằng nhau, khai thác hai tiếp tuyến từ cùng điểm và các tam giác vuông.
Ghi nhớ
Một đường vuông góc bán kính nhưng không đi qua đầu bán kính trên đường tròn chưa phải tiếp tuyến tại điểm ấy. Khoảng cách d phải là đoạn vuông góc đến đường, không phải khoảng cách tới một điểm tùy ý trên đường. Hai tiếp tuyến từ hai điểm khác nhau không có độ dài bằng nhau nói chung.
Công thức trọng tâm
M ở ngoài đường tròn bán kính R, MA là đoạn tiếp tuyến tại A.
Ví dụ có lời giải từng bước
Điểm M cách tâm O của đường tròn bán kính 3 cm một khoảng 5 cm. MA là tiếp tuyến tại A. Tính MA.
- A thuộc đường tròn nên OA = 3 cm, và OA vuông góc MA.
- Trong tam giác vuông OAM, OM là cạnh huyền 5 cm.
- MA = √(OM² − OA²) = √(25 − 9) = 4 cm.
Chỉ suy ra góc vuông khi đã có tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn; OM > R bảo đảm M ở ngoài.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Từ cùng M kẻ tiếp tuyến MB thì MB dài bao nhiêu?
MB = MA = 4 cm vì hai đoạn tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm ngoài.
Một đường cách O đúng 3 cm có vị trí nào với đường tròn bán kính 3 cm?
Là tiếp tuyến. Khoảng cách ở đây phải đo theo đoạn vuông góc từ O đến đường.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải
Gọi H là chân vuông góc từ O đến d; so OH với R để phân loại giao điểm. Chứng minh d là tiếp tuyến tại T cần đủ T thuộc đường tròn và d vuông góc OT tại T. Một đường vuông góc một bán kính tại điểm khác tiếp điểm chưa đủ.
Từ M ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Hai tam giác vuông MOA, MOB có chung huyền MO và OA=OB nên bằng nhau. Suy ra MA=MB, MO phân giác góc AMB và góc AOB nhỏ trong cấu hình này.
Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng
Ví dụ 2. Ba vị trí đường thẳng và đường tròn
- R=4 cm. Ba đường thẳng cách tâm 2,4,6 cm.
- Khoảng cách 2<4 cho cắt hai điểm; 4=4 cho tiếp xúc; 6>4 cho không giao.
- Không đo khoảng cách theo một đoạn xiên.
Ví dụ 3. Tính độ dài tiếp tuyến
- OM=13 cm, R=5 cm; MT tiếp xúc tại T.
- OT vuông góc MT. Pythagore cho MT=√(169−25)=12 cm.
- Kiểm 12²+5²=13².
Ví dụ 4. Góc giữa hai tiếp tuyến
- MA, MB là tiếp tuyến, góc AMB=60°. MO phân giác nên góc AMO=30°.
- Tứ giác AOBM có góc A và B cùng 90°.
- Do tổng bốn góc bằng 360°, góc AOB=360°−90°−90°−60°=120°.
Lỗi thường gặp và cách sửa
- Tiếp điểm phải thuộc đường tròn.
- Độ dài tiếp tuyến MA không phải MO−R.
- Khoảng cách đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc.
Tóm tắt và học tiếp
Chỉ suy ra góc vuông khi đã có tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn; OM > R bảo đảm M ở ngoài.
Bài tiếp theo: Vị trí tương đối của hai đường tròn – Toán 9
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.