Toán 9 – Bài 13 – Mở đầu về đường tròn

Mục tiêu và kiến thức nền

Phân biệt đường tròn/hình tròn, xác định vị trí điểm và các yếu tố. Cần biết khoảng cách và trung trực.

Khái niệm

Đường tròn (O;R), R>0, gồm các điểm M có OM=R. Điểm trong có OM<R, ngoài có OM>R. Hình tròn gồm cả đường tròn và miền trong. Dây cung nối hai điểm trên đường tròn; đường kính là dây đi qua tâm, dài 2R và là dây dài nhất.

Đối xứng và xác định đường tròn

Tâm O là tâm đối xứng; mọi đường thẳng qua O là trục đối xứng. Qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một đường tròn, tâm là giao hai đường trung trực của hai đoạn nối các điểm. Ba điểm thẳng hàng phân biệt không cùng thuộc một đường tròn.

Phương pháp

Chứng minh các điểm đồng viên bằng cách chỉ ra cùng cách một điểm O một khoảng R, hoặc dùng các tiêu chuẩn góc ở bài sau. Tìm tâm đường tròn qua các điểm bằng đường trung trực. Muốn kiểm điểm trong/ngoài, so khoảng cách tới tâm với bán kính, có thể so bình phương khi các đại lượng không âm.

Ghi nhớ

Đường tròn là đường biên, hình tròn là cả miền. Một đoạn nối hai điểm tùy ý trong hình tròn không nhất thiết là dây cung. Hai điểm xác định vô số đường tròn, chưa xác định duy nhất tâm.

Luyện tập bài này

• Bài 13. Mở đầu về đường tròn

Toán 9 – Bài 14 – Cung và dây của đường tròn

Mục tiêu và kiến thức nền

Liên hệ góc ở tâm, cung và dây để so sánh hoặc chứng minh. Cần biết đường tròn và tam giác cân.

Cung và góc ở tâm

Góc ở tâm có đỉnh tại tâm, hai cạnh cắt đường tròn. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; cung lớn có số đo 360° trừ cung nhỏ. Nửa đường tròn có số đo 180°. Nếu B nằm trên cung AC đang xét thì số đo cung AC bằng tổng cung AB và BC.

Quan hệ cung–dây

Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung nhỏ bằng nhau khi và chỉ khi hai dây tương ứng bằng nhau. Cung nhỏ lớn hơn thì dây lớn hơn và ngược lại. Đường kính vuông góc một dây thì đi qua trung điểm dây và chia đôi các cung do dây chắn. Đường kính đi qua trung điểm một dây không phải đường kính thì vuông góc dây ấy.

Phương pháp và ghi nhớ

Muốn chứng minh hai dây bằng nhau, có thể chứng minh hai cung hoặc hai góc ở tâm bằng nhau. Khi tính độ dài dây, nối tâm với hai đầu dây, hạ đường vuông góc tạo hai tam giác vuông. Các so sánh cung–dây cần cùng bán kính; không áp dụng cho hai đường tròn khác kích thước. Phải nói rõ cung nhỏ/cung lớn nếu hai đầu mút tạo hai cung khác nhau.

Luyện tập bài này

• Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

Toán 9 – Bài 15 – Độ dài cung, diện tích quạt tròn và vành khuyên

Mục tiêu và kiến thức nền

Chuyển góc ở tâm thành phần của chu vi/diện tích. Cần biết phần trăm, đơn vị và diện tích hình tròn.

Công thức và ký hiệu

Đường tròn bán kính R có chu vi C=2πR, hình tròn có diện tích S=πR². Cung có góc ở tâm n° có độ dài l=πRn/180. Quạt tròn tương ứng có diện tích S_quạt=πR²n/360=lR/2. Vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R>r≥0 có diện tích π(R²−r²).

Phương pháp

Xác định góc ở tâm chắn đúng cung/quạt; lấy phần n/360 của toàn hình. Nếu dùng cung lớn, góc là 360° trừ góc cung nhỏ. Với hình ghép, cộng phần không chồng nhau hoặc trừ phần khuyết; ghi rõ từng diện tích. Khi tính chu vi hình quạt, cộng độ dài cung và hai bán kính, không chỉ dùng l. Chu vi vành khuyên gồm cả biên ngoài và biên trong nếu bài hỏi tổng độ dài hai biên.

Ghi nhớ

Độ dài mang đơn vị cm,m; diện tích cm²,m². Công thức vành khuyên là hiệu hai bình phương, không phải π(R−r)². Giữ π đến cuối nếu đề không yêu cầu gần đúng; bán kính bằng nửa đường kính.

Luyện tập bài này

• Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Toán 9 – Bài 16 – Đường thẳng và đường tròn, tiếp tuyến

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết tiếp tuyến, dùng bán kính vuông góc và hai tiếp tuyến cùng xuất phát. Cần biết khoảng cách điểm–đường và tam giác vuông.

Vị trí tương đối

Đặt d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a, R là bán kính. Nếu d>R thì không giao; d=R thì a là tiếp tuyến, có một điểm chung; d<R thì cắt tại hai điểm. Tiếp tuyến tại A vuông góc OA. Ngược lại, đường qua A thuộc đường tròn và vuông góc OA là tiếp tuyến tại A.

Hai tiếp tuyến

Từ điểm M ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA,MB. Khi đó MA=MB; OM là phân giác góc AMB, đồng thời là phân giác góc AOB thích hợp trong hình. OA⊥MA, OB⊥MB tạo các tam giác vuông có cạnh huyền OM chung và bán kính bằng nhau.

Phương pháp

Chứng minh tiếp tuyến bằng hai bước: điểm tiếp xúc thuộc đường tròn và đường thẳng vuông góc bán kính tại đó. Tính đoạn tiếp tuyến bằng MA²=MO²−R² khi M ngoài. Muốn chứng minh đoạn bằng nhau hoặc góc bằng nhau, khai thác hai tiếp tuyến từ cùng điểm và các tam giác vuông.

Ghi nhớ

Một đường vuông góc bán kính nhưng không đi qua đầu bán kính trên đường tròn chưa phải tiếp tuyến tại điểm ấy. Khoảng cách d phải là đoạn vuông góc đến đường, không phải khoảng cách tới một điểm tùy ý trên đường. Hai tiếp tuyến từ hai điểm khác nhau không có độ dài bằng nhau nói chung.

Luyện tập bài này

• Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Toán 9 – Bài 17 – Vị trí tương đối của hai đường tròn

Mục tiêu và kiến thức nền

Phân biệt các kiểu giao nhau bằng khoảng cách hai tâm. Cần biết bán kính, tiếp xúc và bất đẳng thức tam giác.

Các trường hợp

Xét hai đường tròn phân biệt có bán kính R≥r>0 và khoảng cách tâm d. Nếu d>R+r, chúng ở ngoài nhau; d=R+r, tiếp xúc ngoài; R−r<d<R+r, cắt nhau tại hai điểm; d=R−r>0, tiếp xúc trong; 0≤d<R−r, một đường nằm trong đường kia và không giao. Nếu d=0,R=r thì hai đường tròn trùng nhau, không thuộc các trường hợp phân biệt trên.

Khi hai đường tròn cắt nhau tại A,B, đường nối hai tâm là đường trung trực của dây chung AB. Khi tiếp xúc, tiếp điểm nằm trên đường nối hai tâm. Tính chất này giúp dựng đường cao và lập các tam giác vuông để tính dây chung.

Phương pháp và ghi nhớ

Tính hoặc xác định d,R,r; so sánh d với tổng và hiệu hai bán kính. Nếu cần độ dài AB, gọi H là giao của đường nối tâm và AB, dùng OA²=OH²+AH², O′A²=O′H²+AH² kết hợp vị trí H. Không dùng hiệu bán kính âm; lấy |R−r| nếu chưa sắp R≥r. “Không giao” có thể là ngoài nhau hoặc chứa nhau, nên phải nêu đúng loại.

Luyện tập bài này

• Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn