GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Cung và dây của đường tròn
Mục tiêu và kiến thức nền
Liên hệ góc ở tâm, cung và dây để so sánh hoặc chứng minh. Cần biết đường tròn và tam giác cân.
Cung và góc ở tâm
Góc ở tâm có đỉnh tại tâm, hai cạnh cắt đường tròn. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; cung lớn có số đo 360° trừ cung nhỏ. Nửa đường tròn có số đo 180°. Nếu B nằm trên cung AC đang xét thì số đo cung AC bằng tổng cung AB và BC.
Quan hệ cung–dây
Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung nhỏ bằng nhau khi và chỉ khi hai dây tương ứng bằng nhau. Cung nhỏ lớn hơn thì dây lớn hơn và ngược lại. Đường kính vuông góc một dây thì đi qua trung điểm dây và chia đôi các cung do dây chắn. Đường kính đi qua trung điểm một dây không phải đường kính thì vuông góc dây ấy.
Phương pháp và ghi nhớ
Muốn chứng minh hai dây bằng nhau, có thể chứng minh hai cung hoặc hai góc ở tâm bằng nhau. Khi tính độ dài dây, nối tâm với hai đầu dây, hạ đường vuông góc tạo hai tam giác vuông. Các so sánh cung–dây cần cùng bán kính; không áp dụng cho hai đường tròn khác kích thước. Phải nói rõ cung nhỏ/cung lớn nếu hai đầu mút tạo hai cung khác nhau.
Công thức trọng tâm
H là chân vuông góc từ tâm O xuống dây AB; R là bán kính.
Ví dụ có lời giải từng bước
Đường tròn bán kính 5 cm có dây AB dài 6 cm. H là chân vuông góc từ O xuống AB. Tính OH.
- Đường từ tâm vuông góc dây chia đôi dây nên AH = HB = 3 cm.
- Trong tam giác vuông OHA, OA = 5 cm, AH = 3 cm.
- OH = √(OA² − AH²) = √(25 − 9) = 4 cm.
Bán kính tới hai đầu dây tạo tam giác cân; đường vuông góc từ tâm đồng thời đi qua trung điểm dây.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Nếu dây cùng đường tròn dài 8 cm thì cách tâm bao nhiêu?
Nửa dây 4 cm, khoảng cách √(25 − 16) = 3 cm. Dây dài hơn ở gần tâm hơn.
Đường kính qua trung điểm của một đường kính khác có luôn vuông góc không?
Không. Trung điểm chính là tâm, và hai đường kính bất kỳ đều qua tâm nhưng không nhất thiết vuông góc. Dấu hiệu đảo cần dây không phải đường kính.
Tóm tắt và học tiếp
Bán kính tới hai đầu dây tạo tam giác cân; đường vuông góc từ tâm đồng thời đi qua trung điểm dây.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.