GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập
Mục tiêu và kiến thức nền
Xác định tâm hai loại đường tròn và dùng tính cách đều. Cần biết trung trực và phân giác.
Ngoại tiếp
Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh tam giác; tâm O là giao các đường trung trực cạnh, nên OA=OB=OC=R. Trong tam giác vuông, tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền. Tâm có thể nằm trong, trên hoặc ngoài tam giác tùy dạng tam giác.
Nội tiếp
Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cả ba cạnh; tâm I là giao các đường phân giác trong. Khoảng cách từ I đến ba cạnh bằng nhau và bằng bán kính r; các đoạn này phải vuông góc các cạnh. Tâm nội tiếp luôn nằm trong tam giác.
Phương pháp
Tìm tâm ngoại tiếp bằng hai trung trực hoặc trung điểm cạnh huyền; tìm tâm nội tiếp bằng hai phân giác. Nếu cần tính r, có thể dùng S=p r với p là nửa chu vi, vì diện tích tam giác bằng tổng ba tam giác có chung chiều cao r đến mỗi cạnh. Với tam giác đều cạnh a, đường cao h=a√3/2, R=2h/3 và r=h/3.
Ghi nhớ
Cách đều ba đỉnh xác định tâm ngoại tiếp; cách đều ba cạnh với điểm trong tam giác xác định tâm nội tiếp. Không dùng độ dài từ I đến đỉnh làm r. Các điểm tiếp xúc nằm trên cạnh và bán kính tại đó vuông góc cạnh.
Công thức trọng tâm
Tam giác vuông tại A có cạnh huyền BC. S là diện tích, p là nửa chu vi; R, r lần lượt là bán kính ngoại tiếp và nội tiếp.
Ví dụ có lời giải từng bước
Tam giác ABC vuông tại A, AB = 4 cm, AC = 3 cm. Tính bán kính ngoại tiếp R và nội tiếp r.
- BC = √(4² + 3²) = 5 cm. Tâm ngoại tiếp là trung điểm BC nên R = 5/2 = 2,5 cm.
- Diện tích S = AB · AC/2 = 6 cm²; nửa chu vi p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 cm.
- Từ S = pr suy ra r = 6/6 = 1 cm.
Tâm ngoại tiếp cách đều các đỉnh; tâm nội tiếp cách đều các cạnh. Hai bán kính có ý nghĩa khác nhau.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Khoảng cách từ tâm nội tiếp tới đỉnh A có luôn bằng r không?
Không. r là khoảng cách vuông góc tới cạnh; ví dụ này IA = √2 cm, còn r = 1 cm.
Tâm ngoại tiếp có luôn nằm trong tam giác không?
Không. Trong tam giác vuông, tâm nằm trên cạnh huyền; trong tam giác tù có thể nằm ngoài.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải
Ngoại tiếp: dựng hai trung trực cạnh, giao O là tâm cách đều ba đỉnh. Nội tiếp: dựng hai phân giác trong, giao I có khoảng cách vuông góc tới ba cạnh bằng nhau. Hai tâm có định nghĩa khác nhau và thường không trùng nhau.
Trong tam giác đều cạnh a, đường cao h=a√3/2; tâm chung nằm trên đường cao, cách đỉnh 2 h/3 và cách cạnh h/3. Vì vậy R=a√3/3, r=a√3/6, R=2 r. Trong tam giác vuông, tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền; nội tiếp vẫn xác định theo phân giác.
Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng
Ví dụ 2. Tam giác đều
- Tam giác đều cạnh 6 cm có đường cao h=3√3 cm.
- Bán kính ngoại tiếp cm; nội tiếp cm.
- Tâm hai đường tròn trùng nhau, R=2 r.
Ví dụ 3. Tam giác vuông và bán kính ngoại tiếp
- ABC vuông tại A, có AB=5, AC=12 cm. Pythagore cho BC=13 cm.
- Tâm ngoại tiếp là trung điểm BC, R=BC/2=6,5 cm.
- Diện tích 30 cm², nửa chu vi 15 cm nên r=S/p=2 cm.
Ví dụ 4. Giải thích công thức diện tích theo r
- I là tâm nội tiếp, tách tam giác ABC thành IAB, IBC, ICA.
- Mỗi tam giác nhỏ có chiều cao tới cạnh tương ứng bằng r. Tổng diện tích S=r(AB+BC+CA)/2=pr.
- Với S=24 cm², p=12 cm, suy ra r=2 cm. Đây là khoảng cách tới cạnh, không phải IA.
Lỗi thường gặp và cách sửa
- Bán kính nội tiếp đo vuông góc tới cạnh, không đo đến đỉnh.
- Tâm ngoại tiếp tam giác tù có thể nằm ngoài.
- Đường tròn ngoại tiếp đi qua đỉnh; nội tiếp tiếp xúc cạnh.
Tóm tắt và học tiếp
Tâm ngoại tiếp cách đều các đỉnh; tâm nội tiếp cách đều các cạnh. Hai bán kính có ý nghĩa khác nhau.
Bài tiếp theo: Tứ giác nội tiếp – Toán 9
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.