Hình cầu lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập

Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải

Tạo mô hình mặt cầu bằng cách quay nửa đường tròn quanh đường kính. Mặt cầu là lớp biên, khối cầu gồm cả bên trong. Mặt phẳng qua tâm cắt khối cầu thành hình tròn bán kính R; mặt phẳng cách tâm h với 0≤h<R cho hình tròn nhỏ hơn, có bán kính √(R²−h²).

Diện tích dùng để tính lớp sơn, vỏ mỏng; thể tích dùng cho lượng vật liệu hoặc dung tích theo mô hình. Bán cầu có thể chỉ tính mặt cong hoặc tính cả đáy tròn; đọc đúng yêu cầu. Khi các kích thước tăng k lần, diện tích tăng k² lần và thể tích tăng k³ lần.

Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng

Ví dụ 2. Từ đường kính sang diện tích và thể tích

1. Quả cầu đường kính 12 cm có R=6 cm.
2. Diện tích mặt cầu $S=4\pi 6^2=144\pi$ cm²; thể tích $V=\frac{4}{3}\pi 6^3=288\pi$ cm³.
3. Kiểm đơn vị: diện tích cm², thể tích cm³.

Ví dụ 3. Bán cầu tính cả đáy

1. Bán cầu R=3 cm có mặt cong bằng nửa diện tích mặt cầu: 2 πR²=18 πcm².
2. Đáy tròn có diện tích 9 πcm². Nếu yêu cầu toàn bộ mặt ngoài gồm đáy, tổng 27 πcm².
3. Thể tích luôn bằng nửa khối cầu: 2 πR³/3=18 πcm³; không cộng diện tích đáy vào thể tích.

Ví dụ 4. Tỉ lệ khi thay kích thước

1. Hai quả cầu cùng vật liệu, bán kính quả lớn gấp 2 quả nhỏ.
2. Diện tích quả lớn gấp 2²=4 lần; thể tích gấp 2³=8 lần.
3. Nếu khối lượng riêng như nhau và hai khối đặc, khối lượng cũng gấp 8 lần. Không suy ra điều đó cho hai vỏ rỗng khác độ dày.

Lỗi thường gặp và cách sửa

• Diện tích mặt cầu 4 πR² khác diện tích hình tròn lớnπR².
• Đường kính bằng 2 R; thay d làm R sẽ làm thể tích tăng sai 8 lần.
• Mặt phẳng tiếp xúc tại h=R chỉ có một điểm chung, không có hình tròn bán kính dương.