GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Bất đẳng thức và tính chất
Mục tiêu và kiến thức nền
Biến đổi và so sánh bất đẳng thức đúng chiều. Cần biết thứ tự số thực và quy tắc dấu.
Tính chất
Nếu a<b thì a+c<b+c. Nhân hai vế với c>0 giữ chiều; nhân với c<0 đảo chiều. Các quy tắc tương tự cho ≤,>,≥. Nếu a<b và b<c thì a<c. Có thể cộng hai bất đẳng thức cùng chiều để được bất đẳng thức cùng chiều; khi nhân hai bất đẳng thức phải kiểm dấu, không áp dụng tự do.
Với số thực x, x²≥0, nên (x−y)²≥0 và x²+y²≥2xy. Dấu bằng ở bất đẳng thức sau xảy ra khi x=y. Nếu 0<a<b thì 1/a>1/b; lấy nghịch đảo không giữ chiều trên các số dương.
Phương pháp
Muốn so sánh A và B, xét dấu A−B. Phân tích hiệu thành nhân tử hoặc tổng bình phương; dùng các giả thiết để xác định dấu. Khi chứng minh một cận, ghi thêm điều kiện xảy ra dấu bằng nếu cần tìm lớn nhất/nhỏ nhất. Với biểu thức chứa mẫu hoặc căn, điều kiện xác định là bước đầu.
Ghi nhớ
Không nhân/chia với biểu thức chứa x mà chưa biết dấu; nếu cần thì chia trường hợp. Từ a<b không được luôn suy ra a²<b² khi hai số có thể âm. Phân biệt bất đẳng thức đúng với mọi x và một bất phương trình chỉ đúng trên một tập nghiệm.
Công thức trọng tâm
Bình phương của mọi số thực không âm; dấu bằng xảy ra khi x = y.
Ví dụ có lời giải từng bước
Biết a < b. So sánh −3a + 2 và −3b + 2.
- Nhân a < b với −3, một số âm, phải đảo chiều: −3a > −3b.
- Cộng 2 vào hai vế giữ chiều: −3a + 2 > −3b + 2.
- Kiểm minh họa a = 1, b = 2: −1 > −4, phù hợp kết luận. Ví dụ số chỉ để kiểm, không thay chứng minh tổng quát.
Dấu của hệ số quyết định có đảo chiều khi nhân hoặc chia bất đẳng thức.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Từ −3 < 2 có suy ra (−3)² < 2² không?
Không. Bình phương cho 9 > 4. Phép bình phương không bảo toàn thứ tự trên toàn tập số thực.
Chứng minh x² + 4 ≥ 4x và nêu dấu bằng.
x² + 4 − 4x = (x − 2)² ≥ 0 với mọi x thực. Dấu bằng khi và chỉ khi x = 2.
Tóm tắt và học tiếp
Dấu của hệ số quyết định có đảo chiều khi nhân hoặc chia bất đẳng thức.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.