GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 11

Công thức lượng giác

Với góc θ nhọn, tam giác OPM vuông tại P và OM = 1. Đẳng thức sin²θ + cos²θ = 1 đúng với mọi góc θ.

Mục tiêu và kiến thức nền

Biến đổi biểu thức, tính giá trị và chọn công thức thích hợp. Cần biết các giá trị lượng giác, điều kiện của tan/cot và hằng đẳng thức đại số.

Công thức cộng và nhân đôi

\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

\tan (a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}

Chỉ áp dụng khi tan a, tan b và hai vế đều xác định, đồng thời mẫu số khác 0.

\sin 2 a = 2 \sin a \cos a

\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a

\cos 2 a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a

\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}

\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}

\tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}

Các công thức chứa tan chỉ áp dụng khi các biểu thức có nghĩa; không bỏ qua điều kiện mẫu khác 0.

Đổi tổng và tích

\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}

\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}

\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}

\cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}

2 \sin a \cos b = \sin (a + b) + \sin (a - b)

2 \cos a \sin b = \sin (a + b) - \sin (a - b)

2 \sin a \sin b = \cos (a - b) - \cos (a + b)

Cách nhận biết và biến đổi

Gặp góc là tổng/hiệu của hai góc quen thuộc, dùng công thức cộng. Gặp tích sin a cos a, dùng sin 2a. Gặp bình phương và cần hạ bậc, dùng các biểu thức theo cos 2a. Gặp tổng hai sin/cos cần tìm nhân tử hoặc giải phương trình, đổi tổng thành tích. Gặp tích hai hàm có góc khác nhau, đổi tích thành tổng để gom các góc.

Khi chứng minh đẳng thức, xác định miền chung của hai vế; thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản. Có thể quy tan/cot về sin/cos và dùng sin²a+cos²a=1. Không chia hai vế cho một biểu thức có thể bằng 0 nếu chưa xét riêng trường hợp đó. Nếu tìm sin(a/2) từ công thức hạ bậc, dấu của căn phải theo khoảng chứa a/2.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Dấu trừ trong cos(a+b) khác dấu cộng trong sin(a+b). sin(a+b) không bằng sin a+sin b. Công thức là đẳng thức trên miền xác định, không tự tạo nghiệm cho biểu thức vốn vô nghĩa. Giữ nguyên số đo radian hoặc độ nhất quán từ đầu đến cuối.

Hiểu bản chất trước khi nhớ công thức

Góc 75° bằng 45° + 30°, nhưng sin 75° không bằng sin 45° + sin 30°. Công thức cộng mô tả việc phối hợp hai phép quay; các tích sin–cos xuất hiện vì tọa độ của điểm sau phép quay phụ thuộc cả hai tọa độ ban đầu.

Ví dụ có lời giải từng bước

1. Tính sin 75°

Tách góc: 75° = 45° + 30°.
Dùng công thức cộng: sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°.
Thay sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2.
Kết quả: sin 75° = (√6 + √2)/4.

Kết quả dương và nhỏ hơn 1, phù hợp góc nhọn.

2. Từ một giá trị đến góc đôi

Cho sin a = 3/5 và 0 < a < π/2. Tính sin 2a và cos 2a.

Vì a ở góc phần tư I nên cos a dương: cos a = √(1 − 9/25) = 4/5.
sin 2a = 2 sin a cos a = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
cos 2a = 1 − 2 sin²a = 1 − 18/25 = 7/25.

Điều kiện góc rất quan trọng: nếu a thuộc góc phần tư II thì cos a âm và sin 2a đổi dấu.

3. Đổi tổng thành tích, giữ đủ trường hợp

Giải sin 3x + sin x = 0 với x là số thực.

Đổi tổng: 2 sin 2x cos x = 0.
sin 2x = 0 cho x = kπ/2; cos x = 0 cho x = π/2 + kπ, với k nguyên.
Họ nghiệm thứ hai đã nằm trong họ thứ nhất, nên nghiệm gọn là x = kπ/2, k ∈ ℤ.

Không chia ngay cho cos x: có thể làm mất các nghiệm khiến cos x = 0.

Tự kiểm tra

Làm từng câu trước khi mở lời giải.

1. Tính cos 15° bằng công thức hiệu.

cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√6 + √2)/4.

2. Viết sin²x theo cos 2x.

Từ cos 2x = 1 − 2sin²x suy ra sin²x = (1 − cos 2x)/2. Công thức đúng với mọi x thực.

3. Biết tan a = 1/2. Tính tan 2a.

Mẫu 1 − tan²a = 3/4 khác 0. Do đó tan 2a = (2 · 1/2)/(3/4) = 4/3. tan a hữu hạn và mẫu khác 0 bảo đảm công thức dùng được.

4. Rút gọn 2cos a cos b.

2cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b). Có thể kiểm lại bằng cách cộng hai công thức cos(a + b) và cos(a − b).

Tóm tắt và chọn công cụ

Góc tổng/hiệu → công thức cộng; góc đôi hoặc bình phương → nhân đôi/hạ bậc; tổng cần phân tích nhân tử → tổng thành tích. Trước khi chia hoặc dùng tan/cot, kiểm tra miền xác định và trường hợp biểu thức bằng 0.

Luyện tập bài này

← Về mục lục chương

Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Tham khảo khái niệm: OpenStax. Ví dụ và câu tự kiểm tra do Gia Sư SV biên soạn.