Đến nội dung chính
Tư vấn: 0946 99 62 68Thứ 2 - 7 8:00 - 18:00
Zalo tư vấn ↗Địa chỉ & liên hệ
Gia Sư SVGia Sư SVTận tâm · Minh bạch · Đồng hành
Gọi tư vấn

GIA SƯ SV · TỰ HỌC CHỦ ĐỘNG

Toán 12: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Chọn Luyện tập để nhận phản hồi và đọc lời giải ngay từng câu. Mở mục Thi thử để ghép một đề ngắn.

33 trắc nghiệm · 12 Đúng/Sai · 11 trả lời ngắn · 6 tự luận

Mục tiêu bài học

  • Biết lập bảng lớp tần số và loại trừ lớp có tần số 0 khi xác định R.
  • Tính đúng Q1, Q3, IQR theo nội suy ghép nhóm.
  • So sánh các mẫu cùng thang đo; giải thích ngoại lệ.

Công thức cốt lõi

Khoảng biến thiên

\(R=u_{j+1}-u_i\)

Chọn lớp đầu và lớp cuối có tần số khác 0; khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm bằng hiệu mút phải lớp cuối và mút trái lớp đầu. Nếu tần số ngoài rìa bằng 0 thì không tính các lớp trống đó.

Tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm

\(Q_k=L+\frac{kn/4-F}{f}\,h\qquad(k=1,3)\)

n là tổng tần số, L là đầu mút trái lớp chứa tứ phân vị, F là tần số tích lũy trước lớp, f là tần số lớp, h là độ rộng lớp; áp dụng quy tắc nội suy theo tài liệu học hiện hành.

Khoảng tứ phân vị

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1\)

Đo sự trải rộng khoảng 50% giá trị giữa; càng nhỏ thì phần giữa dữ liệu càng tập trung.

Xác định ngoại lệ

\(x<Q_1-1{,}5\Delta_Q\) hoặc \( x>Q_3+1{,}5\Delta_Q\)

Giá trị phía ngoài hai ngưỡng là ngoại lệ theo quy tắc 1,5 khoảng tứ phân vị. Không kết luận mức rủi ro chỉ bằng khoảng biến thiên.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 – Tốc độ 100 ô tô vào giờ cao điểm

Bảng dữ liệu tốc độ 100 ô tô vào giờ cao điểm được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính khoảng biến thiên của dữ liệu ghép nhóm và giải thích ý nghĩa.

Nhóm (km/h)\([60;70)\)\([70;80)\)\([80;90)\)\([90;100)\)\([100;110)\)
Ô tô1020203515
  1. Ô tô: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 65, 75, 85, 95, 105.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 60; nhóm cuối kết thúc ở 110. Khoảng biến thiên \(R=50\) km/h.
  3. Kết luận: áp dụng công thức thống kê ghép nhóm và giữ đầy đủ đơn vị đo; không dùng cực trị giả định của từng quan sát.
Ví dụ 2 – Thời gian học sinh hoàn tất bài kiểm tra; số liệu gốc từ 27 đến 43 phút

Bảng dữ liệu thời gian học sinh hoàn tất bài kiểm tra; số liệu gốc từ 27 đến 43 phút được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính R của dữ liệu ghép nhóm; so sánh với R của dữ liệu gốc đã biết.

Nhóm (phút)\([25;30)\)\([30;35)\)\([35;40)\)\([40;45)\)
Học sinh81642
  1. Học sinh: cỡ mẫu \(n=30\); các giá trị đại diện: 27,5, 32,5, 37,5, 42,5.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 25; nhóm cuối kết thúc ở 45. Khoảng biến thiên \(R=20\) phút.
  3. Dữ liệu gốc có cực tiểu 27 phút và cực đại 43 phút, nên \(R_1=43-27=16\) phút.
  4. Dữ liệu ghép nhóm có \(R_2=20>16=R_1\). Khoảng biến thiên ghép nhóm không nhỏ hơn dữ liệu gốc.
Ví dụ 3 – Tuổi thọ máy chạy bộ của hai hãng

Bảng dữ liệu tuổi thọ máy chạy bộ của hai hãng được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính R của hai mẫu và xác định mẫu có khoảng biến thiên lớn hơn.

Nhóm (năm)\([2;4)\)\([4;6)\)\([6;8)\)\([8;10)\)\([10;12)\)
Hãng X720362017
Hãng Y020353510
  1. Hãng X: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 3, 5, 7, 9, 11.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 2; nhóm cuối kết thúc ở 12. Khoảng biến thiên \(R=10\) năm.
  3. Hãng Y: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 3, 5, 7, 9, 11.
  4. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 4; nhóm cuối kết thúc ở 12. Khoảng biến thiên \(R=8\) năm.
  5. Theo khoảng biến thiên, Hãng Y phân tán ít hơn Hãng X.
Ví dụ 4 – Điểm đánh giá phim của hai nhóm khán giả

Bảng dữ liệu điểm đánh giá phim của hai nhóm khán giả được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính R của hai mẫu và xác định mẫu có khoảng biến thiên lớn hơn.

Nhóm (điểm)\([50;60)\)\([60;70)\)\([70;80)\)\([80;90)\)\([90;100)\)
Nhóm khán giả A720362017
Nhóm khán giả B020353510
  1. Nhóm khán giả A: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 55, 65, 75, 85, 95.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 50; nhóm cuối kết thúc ở 100. Khoảng biến thiên \(R=50\) điểm.
  3. Nhóm khán giả B: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 55, 65, 75, 85, 95.
  4. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 60; nhóm cuối kết thúc ở 100. Khoảng biến thiên \(R=40\) điểm.
  5. Theo khoảng biến thiên, Nhóm khán giả B phân tán ít hơn Nhóm khán giả A.
Ví dụ 5 – Thời lượng sử dụng Internet mỗi ngày

Bảng dữ liệu thời lượng sử dụng Internet mỗi ngày được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính khoảng biến thiên của dữ liệu ghép nhóm và giải thích ý nghĩa.

Nhóm (phút)\([30;60)\)\([60;90)\)\([90;120)\)\([120;150)\)\([150;180)\)
Người khảo sát241053
  1. Người khảo sát: cỡ mẫu \(n=24\); các giá trị đại diện: 45, 75, 105, 135, 165.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 30; nhóm cuối kết thúc ở 180. Khoảng biến thiên \(R=150\) phút.
  3. Kết luận: áp dụng công thức thống kê ghép nhóm và giữ đầy đủ đơn vị đo; không dùng cực trị giả định của từng quan sát.
Ví dụ 6 – Thời lượng đàm thoại các cuộc gọi

Bảng dữ liệu thời lượng đàm thoại các cuộc gọi được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính Q1, Q3 và khoảng tứ phân vị của dữ liệu ghép nhóm.

Nhóm (phút)\([0;1)\)\([1;2)\)\([2;3)\)\([3;4)\)\([4;5)\)
Cuộc gọi817252010
  1. Cuộc gọi: cỡ mẫu \(n=80\); các giá trị đại diện: 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, 4,5.
  2. \(Q_{1}=1+\frac{20-8}{17}\cdot(2-1)\approx 1,7059\).
  3. \(Q_{3}=3+\frac{60-50}{20}\cdot(4-3)\approx 3,5\).
  4. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=1,7941\) phút.
Ví dụ 7 – Thời gian chạy bộ 18 ngày

Bảng dữ liệu thời gian chạy bộ 18 ngày được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính Q1, Q3 và khoảng tứ phân vị của dữ liệu ghép nhóm.

Nhóm (phút)\([20;25)\)\([25;30)\)\([30;35)\)\([35;40)\)\([40;45)\)
Ngày chạy bộ66411
  1. Ngày chạy bộ: cỡ mẫu \(n=18\); các giá trị đại diện: 22,5, 27,5, 32,5, 37,5, 42,5.
  2. \(Q_{1}=20+\frac{4,5-0}{6}\cdot(25-20)\approx 23,75\).
  3. \(Q_{3}=30+\frac{13,5-12}{4}\cdot(35-30)\approx 31,875\).
  4. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=8,125\) phút.
Ví dụ 8 – Năng suất nông nghiệp

Bảng dữ liệu năng suất nông nghiệp được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính tần số tương đối, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

Nhóm (tấn/ha)\([5,5;5,7)\)\([5,7;5,9)\)\([5,9;6,1)\)\([6,1;6,3)\)\([6,3;6,5)\)\([6,5;6,7)\)
Thửa ruộng346552
  1. Tần số theo từng nhóm: 3, 4, 6, 5, 5, 2.
  2. Thửa ruộng: cỡ mẫu \(n=25\); các giá trị đại diện: 5,6, 5,8, 6, 6,2, 6,4, 6,6.
  3. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 5,5; nhóm cuối kết thúc ở 6,7. Khoảng biến thiên \(R=1,2\) tấn/ha.
  4. \(Q_{1}=5,7+\frac{6,25-3}{4}\cdot(5,9-5,7)\approx 5,8625\).
  5. \(Q_{3}=6,3+\frac{18,75-18}{5}\cdot(6,5-6,3)\approx 6,33\).
  6. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=0,4675\) tấn/ha.
  7. Tổng số thửa ruộng \(n=25\); tần số tương đối của nhóm thứ i bằng \(f_i=n_i/25\).
Ví dụ 9 – Chiều cao 100 cây dừa; xét cây cao 8,4 m

Bảng dữ liệu chiều cao 100 cây dừa; xét cây cao 8,4 m được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính R, Q1, Q3, IQR và xét cây cao 8,4 m có thuộc nhóm ngoại lệ không.

Nhóm (m)\([8,4;8,6)\)\([8,6;8,8)\)\([8,8;9,0)\)\([9,0;9,2)\)\([9,2;9,4)\)
Cây dừa512254414
  1. Cây dừa: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 8,5, 8,7, 8,9, 9,1, 9,3.
  2. Nhóm đầu có số liệu bắt đầu ở 8,4; nhóm cuối kết thúc ở 9,4. Khoảng biến thiên \(R=1\) m.
  3. \(Q_{1}=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot(9-8,8)\approx 8,864\).
  4. \(Q_{3}=9+\frac{75-42}{44}\cdot(9,2-9)\approx 9,15\).
  5. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=0,286\) m.
  6. Cận ngoại lệ: \(L=Q_1-1,5\Delta_Q\approx8,435\), \(U=Q_3+1,5\Delta_Q\approx9,579\).
  7. Chiều cao 8,4 m là ngoại lệ theo quy tắc 1,5 IQR.
Ví dụ 10 – Điểm trung bình học sinh hai trường

Bảng dữ liệu điểm trung bình học sinh hai trường được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính khoảng tứ phân vị của hai mẫu và nhận xét mẫu nào đồng đều hơn.

Nhóm (điểm)\([5;6)\)\([6;7)\)\([7;8)\)\([8;9)\)\([9;10)\)
Trường A45342
Trường B25431
  1. Trường A: cỡ mẫu \(n=18\); các giá trị đại diện: 5,5, 6,5, 7,5, 8,5, 9,5.
  2. \(Q_{1}=6+\frac{4,5-4}{5}\cdot(7-6)\approx 6,1\).
  3. \(Q_{3}=8+\frac{13,5-12}{4}\cdot(9-8)\approx 8,375\).
  4. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=2,275\) điểm.
  5. Trường B: cỡ mẫu \(n=15\); các giá trị đại diện: 5,5, 6,5, 7,5, 8,5, 9,5.
  6. \(Q_{1}=6+\frac{3,75-2}{5}\cdot(7-6)\approx 6,35\).
  7. \(Q_{3}=8+\frac{11,25-11}{3}\cdot(9-8)\approx 8,0833\).
  8. \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=1,7333\) điểm.
  9. Theo khoảng tứ phân vị, Trường B phân tán ít hơn Trường A.

Toán 12 – Chương 3 – Đọc bảng ghép nhóm và chọn lớp chứa tứ phân vị

Mục tiêu và kiến thức nền

Bổ sung cách thực hiện cho bài khoảng biến thiên–khoảng tứ phân vị đang có. Công thức và ví dụ của bài hiện hữu được dùng tiếp; phần này làm rõ điều kiện, cách đọc bảng và ý nghĩa kết quả.

Hiểu dữ liệu trước khi tính

Một nhóm [aᵢ;bᵢ) gồm các giá trị từ aᵢ đến dưới bᵢ, có tần số nᵢ≥0. Cỡ mẫu n=Σnᵢ phải dương. Độ rộng nhóm hᵢ=bᵢ−aᵢ>0. Tần số tích lũy Fᵢ=n₁+…+nᵢ cho biết số quan sát tính đến hết nhóm i. Các nhóm phải được sắp theo thứ tự tăng và không chồng lấn; nhóm cuối có thể dùng quy ước đóng ở phải khi bảng ghi rõ.

Khoảng biến thiên R được tính từ hai mút ngoài cùng của các nhóm thực sự có quan sát. Đây là số đặc trưng của bảng ghép nhóm; không biết chính xác giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của dữ liệu thô chỉ từ các mút lớp. Không lấy trung điểm nhóm cuối trừ trung điểm nhóm đầu để tính R.

Chọn nhóm và nội suy

Để tìm Q₁ hoặc Q₃, xác định vị trí n/4 hoặc 3n/4 trên cột tần số tích lũy. Chọn nhóm có tần số dương chứa vị trí đó; gọi L là mút trái, F là tần số tích lũy trước nhóm, f là tần số nhóm, h là độ rộng chính nhóm ấy. Khoảng cách nội suy từ L là [(vị trí−F)/f]·h. Không dùng độ rộng nhóm khác khi bảng có các nhóm rộng khác nhau.

Nếu vị trí đúng tại biên tích lũy của hai nhóm kề nhau liên tiếp, phép nội suy ở nhóm trước cho mút phải, ở nhóm sau cho mút trái và hai giá trị trùng nhau. Nếu bảng có khoảng trống hoặc nhóm tần số 0 ở giữa, phải theo quy ước lớp của tài liệu và không chia cho f=0. Làm tròn Q₁,Q₃ ở bước cuối để không làm sai IQR=Q₃−Q₁.

Diễn giải và ghi nhớ

IQR đo độ trải rộng của phần giữa dữ liệu, ít nhạy hơn R với các giá trị rất xa. Ngưỡng ngoại lệ 1,5·IQR là quy tắc phát hiện điểm cần chú ý, không chứng minh lỗi đo hay bắt buộc xóa điểm. Chỉ từ bảng nhóm có thể không biết chính xác từng quan sát là ngoại lệ. R và IQR cùng đơn vị dữ liệu; so sánh các mẫu phải cùng đại lượng và thang đo.

Luyện tập bài này

Chọn lớp 10–12, môn và chương. Mở bài để học trọn nội dung, xem lời giải chi tiết và lưu tiến độ.

Lịch sử học của bạn

Tên và tiến độ học lưu trên trình duyệt; riêng ảnh tự luận bạn chủ động bấm Nộp & lưu mới được gửi lên vùng lưu riêng tư của website.

Cho Thầy Nhựt nhớ tên bạn nhé?

Một biệt danh cũng được. Không cần tên thật đâu!

Lưu trên trình duyệt này để chào bạn khi quay lại.

Ôn tập theo chương giúp củng cố kiến thức; thi thử giúp luyện thời gian. Sau khi làm, bạn có thể đọc lời giải và ôn lại câu chưa đúng.

Củng cố phần còn chưa vững

Thử lại câu sai, đọc cách giải rồi chọn đề cùng môn để luyện tiếp.

Chọn đề tiếp theo →

Cần người hướng dẫn?

Gia sư hỗ trợ giải thích những phần khó và xây dựng lịch ôn phù hợp với mục tiêu của em.

Tìm gia sư đồng hành →

Tải đề PDF

Chọn mẫu phù hợp rồi lưu PDF trên thiết bị.

Mẫu tài liệu
Chừa dòng và chọn câu

Chọn “Lưu dưới dạng PDF” trong hộp thoại in. Không lưu file trên website.