Đến nội dung chính
Tư vấn: 0946 99 62 68Thứ 2 - 7 8:00 - 18:00
Zalo tư vấn ↗Địa chỉ & liên hệ
Gia Sư SVGia Sư SVTận tâm · Minh bạch · Đồng hành
Gọi tư vấn

GIA SƯ SV · TỰ HỌC CHỦ ĐỘNG

Toán 12: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Chọn Luyện tập để nhận phản hồi và đọc lời giải ngay từng câu. Mở mục Thi thử để ghép một đề ngắn.

35 trắc nghiệm · 10 Đúng/Sai · 12 trả lời ngắn · 5 tự luận

Mục tiêu bài học

  • Tính trung điểm nhóm và trung bình gia quyền.
  • Tính phương sai theo hai công thức tương đương, lấy căn để được độ lệch chuẩn.
  • Biết lý giải ý nghĩa so sánh độ phân tán và tránh sai đơn vị.

Công thức cốt lõi

Giá trị đại diện

\(c_i=\frac{a_i+b_i}{2},\qquad n=\sum_{i=1}^{k}n_i\)

Dùng trung điểm mỗi lớp để xấp xỉ dữ liệu gốc.

Số trung bình ghép nhóm

\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i c_i\)

Trung bình có trọng số theo tần số từng lớp.

Phương sai ghép nhóm

\(s^2=\frac1n\sum_{i=1}^kn_i(c_i-\bar{x})^2=\frac1n\sum_{i=1}^kn_i c_i^2-\bar{x}^2\)

Sử dụng mẫu ghép nhóm theo chương trình học phổ thông, chia cho n (không phải n−1); phương sai có đơn vị bình phương.

Độ lệch chuẩn

\(s=\sqrt{s^2}\)

Cùng đơn vị với số liệu gốc. Khi cùng thang đo và trung bình phù hợp, s càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 – Chiều cao 20 cây giống

Bảng dữ liệu chiều cao 20 cây giống được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm (cm)\([39,5;44,5)\)\([44,5;49,5)\)\([49,5;54,5)\)\([54,5;59,5)\)\([59,5;64,5)\)\([64,5;69,5)\)
Cây giống253433
  1. Cây giống: cỡ mẫu \(n=20\); các giá trị đại diện: 42, 47, 52, 57, 62, 67.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=54,5\) cm.
  3. Kết luận: áp dụng công thức thống kê ghép nhóm và giữ đầy đủ đơn vị đo; không dùng cực trị giả định của từng quan sát.
Ví dụ 2 – Số câu trả lời đúng trên bài kiểm tra 40 câu

Bảng dữ liệu số câu trả lời đúng trên bài kiểm tra 40 câu được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm (câu)\([16;21)\)\([21;26)\)\([26;31)\)\([31;36)\)\([36;41)\)
Học sinh468184
  1. Học sinh: cỡ mẫu \(n=40\); các giá trị đại diện: 18,5, 23,5, 28,5, 33,5, 38,5.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=30\) câu.
  3. Kết luận: áp dụng công thức thống kê ghép nhóm và giữ đầy đủ đơn vị đo; không dùng cực trị giả định của từng quan sát.
Ví dụ 3 – Số vỏ chai nhựa học sinh thu gom

Bảng dữ liệu số vỏ chai nhựa học sinh thu gom được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm (chai)\([0,5;5,5)\)\([5,5;10,5)\)\([10,5;15,5)\)\([15,5;20,5)\)\([20,5;25,5)\)
Học sinh5382483918
  1. Học sinh: cỡ mẫu \(n=240\); các giá trị đại diện: 3, 8, 13, 18, 23.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=10,6458\) chai.
  3. Kết luận: áp dụng công thức thống kê ghép nhóm và giữ đầy đủ đơn vị đo; không dùng cực trị giả định của từng quan sát.
Ví dụ 4 – Khối lượng quả mít trong vườn

Bảng dữ liệu khối lượng quả mít trong vườn được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm (kg)\([4;6)\)\([6;8)\)\([8;10)\)\([10;12)\)\([12;14)\)
Quả mít6121994
  1. Quả mít: cỡ mẫu \(n=50\); các giá trị đại diện: 5, 7, 9, 11, 13.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=8,72\) kg.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=80,84-(8,72)^2\approx4,8016\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 2,1913\) kg.
Ví dụ 5 – Điểm trung bình năm học của hai lớp

Bảng dữ liệu điểm trung bình năm học của hai lớp được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai của mỗi dãy và kết luận dãy nào ít phân tán hơn.

Nhóm (điểm)\([5;6)\)\([6;7)\)\([7;8)\)\([8;9)\)\([9;10)\)
Lớp 12A1011226
Lớp 12B0681412
  1. Lớp 12A: cỡ mẫu \(n=40\); các giá trị đại diện: 5,5, 6,5, 7,5, 8,5, 9,5.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=8,3\) điểm.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=69,5-(8,3)^2\approx0,61\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 0,781\) điểm.
  5. Lớp 12B: cỡ mẫu \(n=40\); các giá trị đại diện: 5,5, 6,5, 7,5, 8,5, 9,5.
  6. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=8,3\) điểm.
  7. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=69,95-(8,3)^2\approx1,06\).
  8. \(s=\sqrt{s^2}\approx 1,0296\) điểm.
  9. Theo phương sai, Lớp 12A phân tán ít hơn Lớp 12B.
Ví dụ 6 – Tuổi thọ linh kiện ở hai phân xưởng

Bảng dữ liệu tuổi thọ linh kiện ở hai phân xưởng được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai của mỗi dãy và kết luận dãy nào ít phân tán hơn.

Nhóm (năm)\([1,5;2)\)\([2;2,5)\)\([2,5;3)\)\([3;3,5)\)\([3,5;4)\)
Phân xưởng 1491386
Phân xưởng 2282073
  1. Phân xưởng 1: cỡ mẫu \(n=40\); các giá trị đại diện: 1,75, 2,25, 2,75, 3,25, 3,75.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=2,7875\) năm.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=8,125-(2,7875)^2\approx0,3548\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 0,5957\) năm.
  5. Phân xưởng 2: cỡ mẫu \(n=40\); các giá trị đại diện: 1,75, 2,25, 2,75, 3,25, 3,75.
  6. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=2,7625\) năm.
  7. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=7,85-(2,7625)^2\approx0,2186\).
  8. \(s=\sqrt{s^2}\approx 0,4675\) năm.
  9. Theo phương sai, Phân xưởng 2 phân tán ít hơn Phân xưởng 1.
Ví dụ 7 – Độ tuổi cư dân một khu phố

Bảng dữ liệu độ tuổi cư dân một khu phố được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm (tuổi)\([20;30)\)\([30;40)\)\([40;50)\)\([50;60)\)\([60;70)\)\([70;80)\)
Cư dân25202015146
  1. Cư dân: cỡ mẫu \(n=100\); các giá trị đại diện: 25, 35, 45, 55, 65, 75.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=44,1\) tuổi.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=2189-(44,1)^2\approx244,19\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 15,6266\) tuổi.
Ví dụ 8 – Thu nhập tháng nhân viên hai công ty

Bảng dữ liệu thu nhập tháng nhân viên hai công ty được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai, độ lệch chuẩn hai mẫu; đánh giá mẫu nào ổn định hơn theo độ lệch chuẩn.

Nhóm (triệu đồng)\([10;15)\)\([15;20)\)\([20;25)\)\([25;30)\)\([30;35)\)\([35;40)\)
Công ty A1518101052
Công ty B25157553
  1. Công ty A: cỡ mẫu \(n=60\); các giá trị đại diện: 12,5, 17,5, 22,5, 27,5, 32,5, 37,5.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=20,6667\) triệu đồng.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=476,25-(20,66667)^2\approx49,1389\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 7,0099\) triệu đồng.
  5. Công ty B: cỡ mẫu \(n=60\); các giá trị đại diện: 12,5, 17,5, 22,5, 27,5, 32,5, 37,5.
  6. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=19,0833\) triệu đồng.
  7. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=422,08333-(19,08333)^2\approx57,9097\).
  8. \(s=\sqrt{s^2}\approx 7,6098\) triệu đồng.
  9. Theo độ lệch chuẩn, Công ty A phân tán ít hơn Công ty B.
Ví dụ 9 – Giá đóng cửa hai mã cổ phiếu trong 50 phiên

Bảng dữ liệu giá đóng cửa hai mã cổ phiếu trong 50 phiên được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính phương sai, độ lệch chuẩn hai mẫu; đánh giá mẫu nào ổn định hơn theo độ lệch chuẩn.

Nhóm (nghìn đồng)\([120;122)\)\([122;124)\)\([124;126)\)\([126;128)\)\([128;130)\)
Cổ phiếu A9811139
Cổ phiếu B1465205
  1. Cổ phiếu A: cỡ mẫu \(n=50\); các giá trị đại diện: 121, 123, 125, 127, 129.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=125,2\) nghìn đồng.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=15682,44-(125,2)^2\approx7,4\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 2,7203\) nghìn đồng.
  5. Cổ phiếu B: cỡ mẫu \(n=50\); các giá trị đại diện: 121, 123, 125, 127, 129.
  6. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=124,84\) nghìn đồng.
  7. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=15593,16-(124,84)^2\approx8,1344\).
  8. \(s=\sqrt{s^2}\approx 2,8521\) nghìn đồng.
  9. Theo độ lệch chuẩn, Cổ phiếu A phân tán ít hơn Cổ phiếu B.
Ví dụ 10 – Chỉ số P/B của hai mã cổ phiếu trong 10 phiên

Bảng dữ liệu chỉ số P/B của hai mã cổ phiếu trong 10 phiên được trình bày dưới dạng khoảng lớp và tần số. Tính ph

Toán 12 – Chương 3 – Tính và diễn giải phương sai, độ lệch chuẩn

Mục tiêu và kiến thức nền

Bổ sung quy trình tính, kiểm đơn vị và cách hiểu độ phân tán cho bài phương sai–độ lệch chuẩn hiện hữu. Cần biết trung bình có trọng số và bình phương.

Từ bảng tới số đặc trưng

Đặt cᵢ=(aᵢ+bᵢ)/2 làm giá trị đại diện của nhóm, nᵢ là tần số, n=Σnᵢ>0. Lập các cột cᵢ, nᵢcᵢ và nᵢcᵢ². Trung bình x̄=Σnᵢcᵢ/n. Phương sai s²=Σnᵢ(cᵢ−x̄)²/n, tương đương Σnᵢcᵢ²/n−x̄². Lấy s=√s² ở bước cuối.

Trong thống kê mô tả của bài học này mẫu số là n; không tự đổi sang n−1 của một ước lượng phương sai khác. Không lấy trung bình đơn giản của các trung điểm nếu các tần số không bằng nhau. Tần số tương đối pᵢ=nᵢ/n có thể dùng thay trọng số, với Σpᵢ=1; số phần trăm phải chia 100 trước khi dùng.

Điều kiện và độ chính xác

Phương pháp trung điểm xấp xỉ mỗi quan sát trong nhóm bằng cùng cᵢ. Vì vậy s² và s tính từ bảng nhóm không nhất thiết bằng kết quả trên dữ liệu thô. Giữ nhiều chữ số ở x̄, chỉ làm tròn đáp số cuối. Công thức hiệu hai số gần nhau có thể sinh sai số làm tròn; nếu nhận phương sai âm đáng kể cần tính lại, vì phương sai luôn không âm.

Nếu biến đổi mọi giá trị y=a x+b thì trung bình đổi thành a x̄+b, phương sai thành a²s² và độ lệch chuẩn thành |a|s. Cộng cùng một hằng số không đổi độ phân tán; đổi đơn vị nhân a sẽ làm độ lệch chuẩn nhân |a|. s² có đơn vị bình phương, s có cùng đơn vị dữ liệu.

Diễn giải và ghi nhớ

Với các mẫu cùng đại lượng và thang đo, s nhỏ hơn thể hiện các giá trị tập trung quanh trung bình hơn theo thước đo này. Đánh giá chất lượng/rủi ro thực tế còn cần trung bình, bối cảnh và mục tiêu, không chỉ s. s=0 nghĩa các giá trị đại diện có tần số dương bằng nhau trong mô hình bảng; không suy ra mọi dữ liệu thô trong một nhóm đều bằng nhau. Khi so sánh, nêu rõ đang dùng R, IQR hay s, tránh gộp ba tiêu chí thành một kết luận tuyệt đối.

Luyện tập bài này

ương sai, độ lệch chuẩn hai mẫu; đánh giá mẫu nào ổn định hơn theo độ lệch chuẩn.

Nhóm (đơn vị chỉ số)\([0;2)\)\([2;4)\)\([4;6)\)\([6;8)\)\([8;10)\)\([10;12)\)
Cổ phiếu A104221
Cổ phiếu B121231
  1. Cổ phiếu A: cỡ mẫu \(n=10\); các giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
  2. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=6,4\) đơn vị chỉ số.
  3. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=48,2-(6,4)^2\approx7,24\).
  4. \(s=\sqrt{s^2}\approx 2,6907\) đơn vị chỉ số.
  5. Cổ phiếu B: cỡ mẫu \(n=10\); các giá trị đại diện: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
  6. \(\bar x=\frac{\sum n_ic_i}{n}=6,4\) đơn vị chỉ số.
  7. \(s^2=\frac{\sum n_ic_i^2}{n}-\bar x^2=50,6-(6,4)^2\approx9,64\).
  8. \(s=\sqrt{s^2}\approx 3,1048\) đơn vị chỉ số.
  9. Theo độ lệch chuẩn, Cổ phiếu A phân tán ít hơn Cổ phiếu B.

Chọn lớp 10–12, môn và chương. Mở bài để học trọn nội dung, xem lời giải chi tiết và lưu tiến độ.

Lịch sử học của bạn

Tên và tiến độ học lưu trên trình duyệt; riêng ảnh tự luận bạn chủ động bấm Nộp & lưu mới được gửi lên vùng lưu riêng tư của website.

Cho Thầy Nhựt nhớ tên bạn nhé?

Một biệt danh cũng được. Không cần tên thật đâu!

Lưu trên trình duyệt này để chào bạn khi quay lại.

Ôn tập theo chương giúp củng cố kiến thức; thi thử giúp luyện thời gian. Sau khi làm, bạn có thể đọc lời giải và ôn lại câu chưa đúng.

Củng cố phần còn chưa vững

Thử lại câu sai, đọc cách giải rồi chọn đề cùng môn để luyện tiếp.

Chọn đề tiếp theo →

Cần người hướng dẫn?

Gia sư hỗ trợ giải thích những phần khó và xây dựng lịch ôn phù hợp với mục tiêu của em.

Tìm gia sư đồng hành →

Tải đề PDF

Chọn mẫu phù hợp rồi lưu PDF trên thiết bị.

Mẫu tài liệu
Chừa dòng và chọn câu

Chọn “Lưu dưới dạng PDF” trong hộp thoại in. Không lưu file trên website.