GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 11
Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Mục tiêu và kiến thức nền
Đọc được góc có hướng, đổi độ–radian, xác định dấu và giá trị lượng giác. Cần biết đường tròn, tọa độ điểm và tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Góc lượng giác và đường tròn lượng giác
Góc lượng giác mô tả một phép quay từ tia đầu đến tia cuối. Chiều ngược kim đồng hồ được quy ước dương; chiều kim đồng hồ âm. Các góc có cùng tia đầu và tia cuối sai khác k·360° hoặc k·2π rad, k nguyên. Một vòng bằng 2π rad; α rad = α·180°/π, còn a° = aπ/180 rad. Không cộng trực tiếp số đo độ và radian.
Trên đường tròn đơn vị tâm O, điểm M ứng với góc α có tọa độ (cos α; sin α). Vì vậy −1 ≤ sin α, cos α ≤ 1 và sin²α + cos²α = 1. Khi cos α ≠ 0, tan α = sin α/cos α; khi sin α ≠ 0, cot α = cos α/sin α. Chỉ dùng tan α·cot α = 1 khi cả hai có nghĩa.
Giá trị và dấu cần nhớ
Với α = 0, π/6, π/4, π/3, π/2, sin α lần lượt là 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos α lần lượt là 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0. Dấu sin theo tung độ, dấu cos theo hoành độ; tan và cot cùng dấu khi sin, cos cùng dấu. Ở góc phần tư I tất cả dương; II chỉ sin dương; III tan và cot dương; IV chỉ cos dương.
Các góc liên quan: sin(−α)=−sin α, cos(−α)=cos α; sin(π−α)=sin α, cos(π−α)=−cos α; sin(π+α)=−sin α, cos(π+α)=−cos α; sin(π/2−α)=cos α, cos(π/2−α)=sin α. Sin và cos lặp lại sau 2π; tan, cot sau π ở những điểm xác định.
Cách xử lý
Đưa góc về một vòng, xác định góc phần tư rồi dùng góc đặc biệt hoặc góc liên quan. Nếu biết sin α và cần cos α, tính cos²α=1−sin²α, sau đó chọn dấu theo khoảng của α. Khi tính bằng máy, chọn DEG cho độ và RAD cho radian. Độ dài cung s=R|α| khi α tính bằng radian, R là bán kính; không dùng trực tiếp số đo độ trong công thức này.
Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm
Góc có thể âm hoặc lớn hơn một vòng. Biết bình phương chưa xác định được dấu. Tan không xác định tại π/2+kπ; cot không xác định tại kπ. Luôn ghi điều kiện trước khi chia cho sin hoặc cos.
Ví dụ có lời giải từng bước
Cho α = 5π/6. Đổi sang độ và tính sin α, cos α, tan α.
- 5π/6 · 180°/π = 150°, thuộc góc phần tư II.
- Góc phụ với π là π/6: sin α = 1/2, cos α = −√3/2.
- Vì cos α khác 0, tan α = (1/2)/(−√3/2) = −√3/3.
Tọa độ điểm trên đường tròn đơn vị lần lượt là cos α và sin α; phải chọn dấu theo góc phần tư.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Góc −π/3 bằng bao nhiêu độ?
−π/3 · 180°/π = −60°. Dấu âm chỉ chiều quay theo kim đồng hồ.
Nếu sin α = 3/5, α thuộc góc phần tư II thì cos α bằng bao nhiêu?
cos²α = 1 − 9/25 = 16/25. Ở góc phần tư II, cos âm nên cos α = −4/5.
Tóm tắt và học tiếp
Tọa độ điểm trên đường tròn đơn vị lần lượt là cos α và sin α; phải chọn dấu theo góc phần tư.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.