GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Hệ thức cạnh–góc trong tam giác vuông và ứng dụng
Mục tiêu và kiến thức nền
Giải tam giác vuông và mô hình đo chiều cao/khoảng cách. Cần biết tỉ số lượng giác và đổi đơn vị.
Hệ thức
Với cạnh huyền h, cạnh đối góc α là h sin α, cạnh kề là h cos α. Cạnh đối bằng cạnh kề nhân tan α; cạnh kề bằng cạnh đối nhân cot α. Hai góc nhọn có tổng 90°. Định lí Pythagore: h²=a²+b² với a,b là hai cạnh góc vuông.
Các dạng ứng dụng
Góc nâng là góc từ phương ngang hướng lên đường nhìn; góc hạ từ phương ngang hướng xuống. Khi đo chiều cao từ mắt người quan sát, phần tính theo tan thường là chênh cao so với mắt; phải cộng chiều cao mắt nếu mặt đất cùng mức. Với thang tựa, phân biệt chiều dài thang là cạnh huyền, khoảng chân thang đến tường là cạnh ngang. Với chuyển động theo phương xiên, thành phần ngang/dọc được tính theo cos/sin đúng góc đã cho.
Phương pháp
Chuyển câu chữ thành hình có góc vuông; ký hiệu dữ kiện và đại lượng cần tìm; chọn một tỉ số có ít ẩn nhất; tính và chỉ làm tròn cuối. Nếu có hai vị trí quan sát, viết hai hệ thức cho cùng chiều cao, dùng quan hệ khoảng cách để giải.
Ghi nhớ
Không mặc định đường nhìn vuông góc mặt đất. Góc trong hình phải đo từ đúng phương. Tất cả độ dài cùng đơn vị; độ chính xác đáp số không nên vượt dữ kiện đo. Kiểm hợp lí: cạnh huyền luôn lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Công thức trọng tâm
a, b lần lượt là cạnh đối và cạnh kề góc nhọn α; h là cạnh huyền.
Ví dụ có lời giải từng bước
Một thang dài 5 m tựa vào tường thẳng đứng, chân thang cách tường 4 m trên nền phẳng ngang. Đầu thang cao bao nhiêu và sin góc giữa thang với nền bằng bao nhiêu?
- Tường vuông góc nền nên hình tạo thành tam giác vuông; thang là cạnh huyền 5 m.
- Độ cao h = √(5² − 4²) = 3 m.
- Với góc ở chân thang, sin α = h/5 = 3/5. Nếu cần góc, α ≈ 36,87° ở chế độ DEG.
Ví dụ dùng mô hình hình học lí tưởng; chiều dài thang là cạnh huyền, không phải chiều cao đứng.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Chiều cao 5,5 m có phù hợp thang dài 5 m trong mô hình không?
Không. Cạnh góc vuông phải ngắn hơn cạnh huyền 5 m.
Nếu đường ngắm nâng 45° và chênh cao tính được 10 m so với mắt cao 1,5 m, đỉnh cao bao nhiêu so với nền cùng mức?
10 + 1,5 = 11,5 m. Phải cộng độ cao mắt, với giả thiết hai vị trí nền cùng mức.
Tóm tắt và học tiếp
Ví dụ dùng mô hình hình học lí tưởng; chiều dài thang là cạnh huyền, không phải chiều cao đứng.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.