GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9

Hình cầu

Mặt phẳng cách tâm cầuOH = 3, bán kính cầuOA = 5. Mặt cắt có tâmH và bán kínhHA = 4. Ellipse là hình biểu diễn của đường tròn mặt cắt; tam giácOHA được dựng đúng tỉ lệ 3–4–5.

Mục tiêu và kiến thức nền

Phân biệt mặt cầu/khối cầu và tính diện tích, thể tích. Cần biết bán kính, hình tròn và đơn vị.

Khái niệm và công thức

Mặt cầu tâm O bán kính R gồm các điểm cách O đúng R; khối cầu gồm mặt cầu và miền bên trong. Diện tích mặt cầu S=4πR²; thể tích khối cầu V=4πR³/3. Đường kính d=2R, nên có thể viết S=πd² và V=πd³/6.

Mặt cắt

Mặt phẳng cắt khối cầu tạo hình tròn. Nếu khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng là h<R, bán kính mặt cắt r thỏa r²=R²−h². Khi mặt phẳng qua tâm, r=R và đó là đường tròn lớn. h=R chỉ tiếp xúc một điểm, h>R không giao.

Phương pháp

Xác định dữ kiện cho bán kính hay đường kính; chọn công thức theo yêu cầu diện tích vật liệu hoặc dung tích. Với bán cầu, thể tích bằng nửa khối cầu; diện tích mặt cong bằng nửa mặt cầu, nhưng nếu có cả đáy phẳng phải cộng thêm πR². Khi một quả cầu đặt trong hình trụ/nón, dùng quan hệ tiếp xúc để tìm bán kính hoặc chiều cao trước.

Ghi nhớ

Diện tích tăng theo bình phương, thể tích theo lập phương tỉ lệ kích thước. Không dùng diện tích hình tròn πR² thay cho mặt cầu. Đơn vị diện tích và thể tích khác nhau; kiểm quy đổi khi bài cho dung tích bằng lít.

Công thức trọng tâm

R là bán kính cầu, h là khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng cắt, r là bán kính mặt cắt; 0 ≤ h < R.

S=4\pi R^2,\qquad V=\frac43\pi R^3

r=\sqrt{R^2-h^2}\quad(0\le h<R)

Ví dụ có lời giải từng bước

Khối cầu bán kính 5 cm bị cắt bởi mặt phẳng cách tâm 3 cm. Tính bán kính mặt cắt, diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Bán kính mặt cắt r = √(5² − 3²) = 4 cm.
Diện tích mặt cầu S = 4 π · 5² = 100 π cm².
Thể tích khối cầu V = 4 π · 5³/3 = 500 π/3 cm³.

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu và diện tích hình tròn mặt cắt là ba đại lượng khác nhau.

Tự kiểm tra

Thử trả lời rồi mới mở lời giải.

Diện tích hình tròn mặt cắt trong ví dụ bằng bao nhiêu?

π · 4² = 16 π cm², khác diện tích mặt cầu 100 π cm².

Bán cầu bán kính 5 cm có tính cả đáy phẳng thì diện tích bao nhiêu?

Nửa mặt cầu là 50 π cm², thêm đáy 25 π cm², tổng 75 π cm².

Tóm tắt và học tiếp