GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9

Hình trụ và hình nón

Hình biểu diễn trụ và nón cùng bán kính 3, chiều cao 4. Đáy tròn biểu diễn bằng ellipse, không đọc góc/độ dài từ hình phối cảnh. Nón có đường sinh 5 và thể tích bằng 1/3 trụ.

Mục tiêu và kiến thức nền

Tính diện tích, thể tích và lượng vật liệu của các hình xoay. Cần biết diện tích tròn và Pythagore.

Hình trụ tròn xoay

Với bán kính đáy r và chiều cao h: diện tích xung quanh Sxq=2πrh, diện tích toàn phần Stp=2πrh+2πr², thể tích V=πr²h. Mặt xung quanh khi trải phẳng là hình chữ nhật có hai kích thước 2πr và h.

Hình nón tròn xoay

Gọi h là chiều cao, r bán kính đáy, l đường sinh; l²=r²+h². Sxq=πrl, Stp=πrl+πr², V=πr²h/3. Mặt xung quanh trải thành quạt tròn bán kính l, độ dài cung bằng chu vi đáy 2πr; góc quạt bằng 360°·r/l.

Phương pháp

Phân biệt chiều cao vuông góc đáy và đường sinh nghiêng. Nếu thiếu một đại lượng của nón, dùng tam giác vuông qua trục. Với vật không nắp hoặc chỉ sơn một phần, cộng đúng các mặt cần tính, không tự dùng diện tích toàn phần. Vật rỗng hoặc ghép nhiều khối dùng cộng/trừ thể tích theo phần thực chứa.

Ghi nhớ

Thể tích dùng h, diện tích xung quanh nón dùng l. Đổi đơn vị trước tính: 1 lít=1 dm³, 1 m³=1000 lít. Diện tích đáy của nón chỉ có một; trụ có hai đáy khi kín hoàn toàn.

Công thức trọng tâm

r là bán kính đáy, h là chiều cao; ℓ là đường sinh của nón tròn xoay.

V_{\text{trụ}}=\pi r^2h,\qquad V_{\text{nón}}=\frac13\pi r^2h

\ell^2=r^2+h^2,\qquad S_{\text{xq nón}}=\pi r\ell

Ví dụ có lời giải từng bước

Hình trụ và hình nón tròn xoay cùng bán kính 3 cm, chiều cao 4 cm. Tính thể tích mỗi khối và diện tích xung quanh của nón.

Trụ có V = π · 3² · 4 = 36 π cm³.
Nón có V = π · 3² · 4/3 = 12 π cm³, bằng 1/3 trụ cùng đáy và chiều cao.
Đường sinh nón l = √(3² + 4²) = 5 cm. Diện tích xung quanh nón S = π · 3 · 5 = 15 π cm².

Thể tích dùng chiều cao vuông góc, diện tích xung quanh nón dùng đường sinh. Hình vẽ là hình biểu diễn không gian.

Tự kiểm tra

Thử trả lời rồi mới mở lời giải.

Diện tích toàn phần nón kín có tính thêm đáy không?

Có. Thêm πr² = 9 π, tổng 24 π cm².

36 π cm³ có được ghi thành 36 π cm² không?

Không. Thể tích dùng đơn vị khối, diện tích dùng đơn vị vuông.

Tóm tắt và học tiếp

Thể tích dùng chiều cao vuông góc, diện tích xung quanh nón dùng đường sinh. Hình vẽ là hình biểu diễn không gian.

Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.

Luyện tập bài này

Bài 31. Hình trụ và hình nón

← Về mục lục chương

Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.