Hình học không gian: kiến thức nền

Mục tiêu: Nối hình học thuần túy với vectơ và tọa độ khi tính góc, khoảng cách, diện tích và thể tích. Cần nắm tam giác vuông, đồng dạng, quan hệ song song và các hình khối cơ bản.

Vuông góc và hình chiếu

Một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì vuông góc mặt phẳng đó. Muốn chứng minh đường vuông góc mặt, phải có hai hướng cắt nhau, không chỉ một đường. Góc đường–mặt là góc không tù giữa đường và hình chiếu của nó trên mặt khi hình chiếu là một đường; đường vuông góc mặt có góc 90°.

Góc nhị diện được đo bằng góc phẳng tạo bởi hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng và cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.

Khoảng cách

Khoảng cách điểm–mặt là độ dài đoạn vuông góc từ điểm tới mặt; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách một điểm trên mặt này tới mặt kia. Hai đường chéo nhau có khoảng cách bằng độ dài đoạn vuông góc chung; có thể dựng mặt phẳng chứa một đường và song song đường kia, rồi quy về điểm–mặt khi cấu hình phù hợp.

Không lấy một đoạn nối hai điểm bất kì làm khoảng cách ngắn nhất. Hình chiếu vuông góc và các tam giác vuông giúp tính độ dài bằng Pythagore hoặc lượng giác.

Diện tích và thể tích

Tam giác có diện tích $S=\frac12 ah=\frac12 bc\sin A$ ; tam giác vuông có S bằng nửa tích hai cạnh góc vuông. Lăng trụ có $V=S_{\mathrm{đáy}}h$ ; hình chóp có $V=\frac13 S_{\mathrm{đáy}}h$ . Chiều cao là khoảng cách vuông góc giữa đỉnh/mặt đáy hoặc hai mặt đáy, không mặc định bằng cạnh bên của hình xiên.

Hình trụ V=π $r^2$ h; hình nón $V=\frac13\pi r^2h$ ; khối cầu $V=\frac43\pi r^3$ và diện tích mặt cầu 4π $r^2$ . Hình đồng dạng theo tỉ số k>0 có diện tích tỉ số $k^2$ , thể tích $k^3$ .

Phương pháp và ghi nhớ

Vẽ rõ chân đường cao, tìm tam giác chứa độ dài cần tính, kiểm tính vuông góc rồi chọn công thức. Nếu tọa độ hóa, chọn gốc và ba trục vuông góc theo cấu trúc hình; không gán ba cạnh không vuông góc làm ba trục Oxyz. Có thể tính cùng thể tích theo hai đáy khác nhau để tìm khoảng cách điểm–mặt.

Góc giữa hai vectơ có thể tù, còn góc giữa hai đường hoặc hai mặt thường lấy góc không tù theo quy ước đang dùng.

Công thức thể tích cơ bản
Hình	Thể tích	Đại lượng
Lăng trụ	Sđáy × h	h vuông góc hai đáy
Hình chóp	$\frac{S_{\mathrm{đáy}}h}{3}$	h từ đỉnh xuống mặt đáy
Hình trụ	π $r^2$ h	r là bán kính đáy
Hình nón	$\frac{\pi r^2h}{3}$	h là đường cao
Khối cầu	$\frac{4\pi r^3}{3}$	r là bán kính

Hình biểu diễn chóp S.ABCD có đáy vuông cạnh 3 cm và SA = 4 cm vuông góc đáy. ĐoạnSA màu vàng là chiều cao; diện tích đáy 9 cm², thể tích 12 cm³. Hình không theo tỉ lệ; nét đứt chỉ cạnh khuất.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 2.1. Thể tích hình chóp

Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3 cm; SA vuông góc đáy, SA = 4 cm. Tính thể tích.

Diện tích đáy là $3^2$ = 9 $\mathrm{cm}^2$ . Vì SA vuông góc đáy nên chiều cao h = 4 cm.
V = ( $\frac13$ ) × 9 × 4.

Kết luận: V = 12 $\mathrm{cm}^3$ .

Ví dụ 2.2. Khoảng cách từ thể tích

Một khối chóp có thể tích 20 $\mathrm{cm}^3$ , diện tích đáy 15 $\mathrm{cm}^2$ . Tìm khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.

Dùng $V=\frac{S_{\mathrm{đáy}}h}{3}$ , suy ra $h=\frac{3V}{S_{\mathrm{đáy}}}$ .
h = 3 × $\frac{20}{15}$ = 4.

Kết luận: khoảng cách là 4 cm.

Ví dụ 2.3. Tỷ số đồng dạng

Hai khối cầu có bán kính theo tỷ số 2:3. Tìm tỷ số diện tích mặt cầu và thể tích.

Diện tích tỷ lệ với bình phương bán kính: $2^2$ : $3^2$ .
Thể tích tỷ lệ với lập phương bán kính: $2^3$ : $3^3$ .

Kết luận: tỷ số diện tích là 4:9; tỷ số thể tích là 8:27.

Hình hộp chữ nhật có AB = 2, AD = 3, AA′ = 4. Mũi tên vàng bắt đầu tạiA và kết thúc đúng tạiC′, biểu diễn vectơAC′; không phải AD hoặc DC. Trong hệ trục vuông góc theo ba cạnh ởA, C′(2;3;4) và độ dài AC′=√29. Hình là phép biểu diễn phẳng, không theo tỉ lệ.

Ví dụ 2.4. Chọn hệ trục hợp lý

Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 2, AD = 3, AA′ = 4. Chọn O = A, các trục theo AB, AD, AA′. Tìm AC′.

Ba hướng cạnh đôi một vuông góc nên dùng làm hướng ba trục Oxyz. Khi mỗi đơn vị là 1 đơn vị độ dài, C′(2; 3; 4).
AC′ = $\sqrt{2^2+3^2+4^2}$ .

Kết luận: AC′ = $\sqrt{29}$ .

Tự kiểm tra

Cạnh bên của hình chóp có luôn là chiều cao?
Đồng dạng tỷ số 2 thì thể tích tăng mấy lần?

Xem đáp án và giải thích

Không, chỉ khi cạnh đó vuông góc với mặt đáy.
Tăng $2^3$ = 8 lần.

Mở các bài luyện tập liên quan

Các liên kết dưới đây là đề tổng hợp đã có trên website. Khi ôn bài này, chọn các câu đúng chủ đề; đề không chỉ gồm riêng nội dung vừa học.

Sơ đồ tư duy cuối bài 2

Bốn nhánh tự nhắc kiến thức nền hình học: vuông góc, khoảng cách, diện tích–thể tích và tọa độ hóa. Phần Đọc sơ đồ bằng chữ bên dưới giữ đầy đủ nội dung tương ứng.

Đọc sơ đồ bằng chữ

Vuông góc: Đường vuông góc hai đường cắt nhau trong mặt; thì vuông góc mặt phẳng đó.
Khoảng cách: Là độ dài đoạn vuông góc phù hợp; Có thể tìm chiều cao từ thể tích.
Diện tích, thể tích: Chóp: $V=\frac{S_{\mathrm{đáy}}h}{3}$ ; lăng trụ: V = Sđáy h; Chiều cao không mặc định là cạnh bên.
Tọa độ hóa: Chọn ba hướng vuông góc; ghi đơn vị; Chuyển về vectơ, góc và khoảng cách.

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

← Về mục lục chương

Gia Sư SV biên soạn và biên tập từ chương nền hiện có. Giữ các ví dụ và nội dung đã có; công thức và hình được dựng lại để rõ trên mobile và PC.