Mũ, logarit, giới hạn và đạo hàm

Mục tiêu: Hệ thống các công cụ đã học dùng trong những đề tổng hợp hiện có. Đây là phần nối kiến thức, đọc cùng các bài đạo hàm, tích phân, xác suất và hình học tọa độ.

Mũ và logarit

Với a>0,a≠1, $a^x$ luôn dương; $a^x$ tăng nếu a>1, giảm nếu 0<a<1. $\log_a$ x xác định khi x>0 và là phép toán ngược của $a^x$ . $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ cho x,y>0; $\log_a(x^r)=r\log_a x$ khi x>0. Đổi cơ số $\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$ . Không có công thức $\log(x+y)=\log x+\log y$ .

Phương trình mũ cùng cơ số dẫn đến bằng nhau của số mũ; phương trình log cùng cơ số dẫn đến bằng nhau của đối số nhưng phải giữ điều kiện dương. Bất phương trình giữ chiều với cơ số >1, đảo chiều với cơ số trong (0;1). Lãi kép $P(1+r)^n$ dùng r dạng thập phân theo đúng kỳ; thời gian phải cùng đơn vị với lãi suất.

Giới hạn và liên tục

Khi giới hạn tử và mẫu hữu hạn, mẫu khác 0, có thể lấy giới hạn thương. Dạng $\frac00$ hoặc ∞/∞ không được thay trực tiếp; dùng phân tích nhân tử, liên hợp hoặc chia cho lũy thừa bậc cao. Hàm liên tục tại $x_0$ khi có giá trị f( $x_0$ ), giới hạn tại đó tồn tại và bằng giá trị ấy. Giới hạn một phía phải xét theo miền xác định.

Dãy cấp số nhân $q^n$ →0 khi |q|<1, giúp tính tổng vô hạn nếu bài thực sự yêu cầu.

Đạo hàm

$(uv)\prime=u\prime v+uv\prime$ ; $\left(\frac uv\right)\prime=\frac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$ , v≠0. Hàm hợp $[f(u)]\prime=f\prime(u)u\prime$ . $(x^\alpha)\prime=\alpha x^{\alpha-1}$ trên miền phù hợp; $(e^u)\prime=u\prime e^u$ ; $(\ln u)\prime=\frac{u\prime}{u}$ với u>0; $(\sin u)\prime=u\prime\cos u$ ; $(\cos u)\prime=-u\prime\sin u$ . Công thức đạo hàm lượng giác dùng đối số radian.

Phương pháp và ghi nhớ

Viết điều kiện trước khi biến đổi; tìm cấu trúc hàm hợp trước khi đạo hàm; rút gọn có kiểm điểm loại. Đại lượng tăng trưởng thường dùng hàm mũ, tối ưu dùng đạo hàm, tích lũy dùng tích phân. Kết quả đại số phải được trả về biến và miền thực tế ban đầu.

Chọn công cụ theo bài toán
Dấu hiệu	Công cụ	Kiểm tra trước
Tăng theo tỷ lệ	Mũ và logarit	Cơ số, kỳ thời gian
Dạng 0/0	Phân tích nhân tử hoặc liên hợp	Điểm bị loại
Tốc độ thay đổi	Đạo hàm	Hàm hợp, miền xác định
Lượng tích lũy	Tích phân	Cận và đơn vị

Đọc đúng đồ thị hàm mũ và logarit

Hai loại đồ thị có miền xác định và tiệm cận khác nhau. Hàm mũ $y=a^x$ qua $(0;1)$ ; hàm logarit $y=\log_a x$ chỉ xét $x>0$ và qua $(1;0)$ . Điều kiện cơ số: $a>0,\ a\ne1$ .

Đồ thị hai hàm mũ trên đoạn [−3;3], tính từ161 điểm mỗi đường. Cả hai qua (0;1), luôn dương; cơ số 2 tăng, cơ số 1/2 giảm. y=0 là tiệm cận ngang, không có điểm nào của hai đồ thị nằm trên trụcOx.

Đồ thị logarit chỉ xét x>0, tính từ201 điểm mỗi đường. Đường xanh dương y=log₂(x), đường xanh lá y=−log₂(x)=log cơ số 1/2 của x. Cả hai qua (1;0); x=0 là tiệm cận đứng. Không có điểm đồ thị tại x≤0.

Đọc điểm mẫu: $\log_2 2=1$ , $\log_2\frac12=-1$ , $\log_{1/2}2=-1$ . Đồ thị logarit không cắt Oy và không có điểm tại $x\le0$ .

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1.1. Phương trình logarit

Giải $\log_2(x-1)=3$ .

Điều kiện x − 1 > 0 ⇒ x > 1.
x − 1 = $2^3$ = 8 ⇒ x = 9; nghiệm thỏa điều kiện.

Kết luận: x = 9.

Ví dụ 1.2. Bất phương trình cơ số nhỏ hơn 1

Giải $\left(\frac12\right)^x$ > $\left(\frac12\right)^3$ .

Hàm mũ cơ số $\frac12$ nghịch biến.
Khi so sánh số mũ, đảo chiều bất đẳng thức.

Kết luận: x < 3.

Ví dụ 1.3. Giới hạn dạng 0/0

Tính giới hạn $\frac{x^2-1}{x-1}$ khi x → 1.

Với x ≠ 1, tách $x^2$ − 1 = (x − 1)(x + 1), rút gọn được x + 1.
Giới hạn của x + 1 khi x → 1 bằng 2; không khẳng định biểu thức ban đầu xác định tại 1.

Kết luận: giới hạn bằng 2.

Ví dụ 1.4. Đạo hàm hàm hợp

Tính đạo hàm y = ln( $x^2$ + 1).

Đối số $x^2$ + 1 > 0 với mọi x nên miền xác định là ℝ.
Dùng $(\ln u)\prime=\frac{u\prime}{u}$ , với u = $x^2$ + 1, u′ = 2x.

Kết luận: y′ = $\frac{2x}{x^2+1}$ .

Tự kiểm tra

$\log_2 x+\log_2 y=\log_2(x+y)$ đúng không?
Đạo hàm $e^{3x}$ bằng gì?

Xem đáp án và giải thích

Không. Với x, y > 0, tổng đó bằng $\log_2$ (xy).
3 $e^{3x}$ .

Mở các bài luyện tập liên quan

Các liên kết dưới đây là đề tổng hợp đã có trên website. Khi ôn bài này, chọn các câu đúng chủ đề; đề không chỉ gồm riêng nội dung vừa học.

Sơ đồ tư duy cuối bài 1

Bốn nhánh tự nhắc kiến thức nền giải tích: điều kiện, mũ–logarit, giới hạn và đạo hàm. Phần Đọc sơ đồ bằng chữ bên dưới giữ đầy đủ nội dung tương ứng.

Đọc sơ đồ bằng chữ

Điều kiện: Logarit: đối số > 0; mẫu khác 0; Giữ điều kiện sau mọi bước rút gọn.
Mũ và logarit: Cơ số > 1: tăng; 0 < cơ số < 1: giảm; Logarit biến tích thành tổng khi hợp lệ.
Giới hạn: $\frac00$ là dạng cần biến đổi; Rút gọn, liên hợp, so bậc tùy cấu trúc.
Đạo hàm: Hàm hợp phải nhân đạo hàm bên trong; Đối chiếu kết quả với miền xác định.

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

← Về mục lục chương

Gia Sư SV biên soạn và biên tập từ chương nền hiện có. Giữ các ví dụ và nội dung đã có; công thức và hình được dựng lại để rõ trên mobile và PC.