Bài 25: Nhị thức Newton – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 25
Mục tiêu và kiến thức nền
Khai triển các lũy thừa nhỏ, đọc số hạng tổng quát và tìm đúng hệ số.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Khai triển (a+b)⁴ bằng nhân liên tiếp khá dài. Các hệ số 1,4,6,4,1 có thể giải thích bằng số cách chọn b trong bốn thừa số, giúp hiểu công thức thay vì chỉ học thuộc.
Vì sao xuất hiện tổ hợp?
Trong tích n thừa số (a+b), để tạo aⁿ⁻ᵏbᵏ, chọn k thừa số lấy b, các thừa số còn lại lấy a. Có Cₙᵏ cách, nên (a+b)ⁿ=Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ, k chạy từ 0 đến n, n nguyên không âm. Nội dung cơ bản thường thực hành n=4,5; công thức tổng quát cho thấy quy luật và hỗ trợ bài mở rộng.
Hai khai triển cần dùng
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴. Với mũ 5, hệ số là 1,5,10,10,5,1. Mỗi số hạng có tổng số mũ bằng n; số mũ của a giảm dần, b tăng dần. Với (a−b)ⁿ, thay b bởi −b nên các dấu luân phiên theo k. Có n+1 số hạng trong khai triển hình thức trước khi thu gọn.
Hệ số khác số hạng
Trong khai triển theo x, số hạng chứa xᵐ gồm cả hệ số và xᵐ. Hệ số chỉ là số đứng trước lũy thừa đó. Muốn tìm hệ số, xác định số mũ x theo k, giải điều kiện mũ rồi thay vào hệ số. Tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng P(1); hệ số tự do bằng P(0). Đó là hai phép kiểm nhanh hữu ích.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Khai triển có hệ số
(2x+1)⁴=16x⁴+32x³+24x²+8x+1. Ví dụ số hạng x² đến từ 6(2x)²·1²=24x². Tổng hệ số=16+32+24+8+1=81, bằng (2·1+1)⁴.
VÍ DỤ 2
Dấu trừ
(x−2)⁴=x⁴−8x³+24x²−32x+16. Các dấu lần lượt +,−,+,−,+ vì lũy thừa của −2 đổi dấu ở số mũ lẻ. Hệ số của x³ là −8, không phải 8.
VÍ DỤ 3
Tìm một hệ số
Trong (1+3x)⁵, số hạng chứa x² là C₅²·1³·(3x)²=10·9x²=90x². Hệ số là 90. Không cần khai triển toàn bộ nếu đề chỉ hỏi một hệ số.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Đưa cả hệ số bên trong lũy thừa: (2x)²=4x².
- Số hạng chứa x² khác hệ số x².
- Dấu của b âm phải đi theo lũy thừa.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Hệ số của x² trong (x+1)⁴ là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án A.
C₄²=6.
Câu 2. Tổng các hệ số của (2x+1)⁴ bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 81.
Thay x=1:(2+1)⁴=81.
Câu 3. Khai triển (x−2)⁴:
- Hệ số x⁴ là 1.
- Hệ số x³ là −8.
- Hệ số tự do là 16.
- Hệ số x là 32.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) x⁴. b)4x³(−2)=−8x³. c)(−2)⁴=16. d)4x(−2)³=−32x, hệ số −32.
Câu 4. Khai triển (x+2)⁴.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
x⁴+4x³·2+6x²·4+4x·8+16=x⁴+8x³+24x²+32x+16.
Câu 5. Tìm hệ số x³ trong (1+2x)⁵.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Chọn k=3: C₅³(2x)³=10·8x³=80x³. Hệ số 80.
Câu 6. Một bạn viết (a+b)⁴=a⁴+b⁴. Dùng a=b=1 để bác bỏ và nêu phần thiếu.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Vế trái16, vế phải2 nên đẳng thức sai. Thiếu các số hạng chéo4a³b+6a²b²+4ab³.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.