TOÁN 8 · PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Phân thức đại số: điều kiện và rút gọn – Toán 8

Hai phân thức có thể trông khác nhau nhưng cùng giá trị trên miền xác định chung. Rút gọn không xóa được điều kiện của mẫu ban đầu.

Học xong, em làm được gì?

Tìm điều kiện xác định, nhận biết phân thức bằng nhau và rút gọn bằng nhân tử chung.

Kiến thức cần nhớ: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Nhìn hình để hiểu

Ảnh minh họa phân thức đại số: điều kiện và rút gọn. Các ký hiệu và dữ kiện trong đề là căn cứ khi giải bài.

Phân thức và điều kiện

Phân thức đại số có dạng $\frac{A}{B}$ , A và B là đa thức, B không phải đa thức 0. Khi tính giá trị tại một bộ số, phải có B ≠ 0. Ví dụ $\frac{x + 1}{x − 2}$ xác định khi x ≠ 2.

Tính chất cơ bản

Có thể nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0 để được phân thức bằng nhau trên miền xác định chung. Có thể chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung khác 0. Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu AD = BC trong phạm vi chúng xác định.

Rút gọn nhân tử, không rút hạng tử

Phân tích tử và mẫu thành tích, rồi bỏ nhân tử chung. $\frac{x² − 1}{x − 1}$ = x + 1 với x ≠ 1. Không gạch x trong $\frac{x + 1}{x}$ vì x + 1 là tổng, không có nhân tử chung x.

Đổi dấu cả tử và mẫu

$\frac{A}{B}$ = $\frac{−A}{−B}$ . Đặc biệt y − x = −(x − y). Chỉ đổi dấu một phía sẽ đổi dấu giá trị phân thức.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Rút gọn $\frac{x² − 4}{x − 2}$ .

Điều kiện x ≠ 2.
Tử = (x − 2)(x + 2).
Chia cả tử và mẫu cho x − 2: được x + 2, giữ điều kiện x ≠ 2.

Ví dụ 2

Rút gọn $\frac{6x²y}{9xy²}$ .

Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0.
Chia cả tử và mẫu cho 3xy.
Kết quả $\frac{2x}{3y}$ , giữ cả hai điều kiện từ biểu thức gốc.

Lỗi thường gặp

Không gạch hạng tử trong tổng.
Không quên các giá trị bị loại trước rút gọn.

Em tự thử trước khi mở lời giải

$\frac{x² − 9}{x − 3}$ , với x ≠ 3, rút gọn thành?

Xem giải thích

x² − 9 = (x − 3)(x + 3); chia nhân tử x − 3 khác 0.

Câu 2 · Trả lời ngắn

Phân thức $\frac{5}{x − 4}$ không xác định tại x bằng bao nhiêu?

Xem lời giải sau khi tự làm

Mẫu bằng 0 khi x − 4 = 0, tức x = 4.

Câu 3 · Tự luận

Rút gọn $\frac{x² + 2x}{x² − 4}$ và nêu điều kiện.

Xem lời giải sau khi tự làm

Điều kiện x ≠ 2, x ≠ −2. Tử x(x + 2), mẫu (x − 2)(x + 2), nên kết quả $\frac{x}{x − 2}$ , giữ x ≠ ±2.

Câu 4 · Tự luận

Sửa lỗi: $\frac{x + 5}{x}$ = 5.

Xem lời giải sau khi tự làm

Không có nhân tử chung x trong cả tử. Với x ≠ 0, $\frac{x + 5}{x}$ = 1 + $\frac{5}{x}$ . Thử x = 5 cho giá trị 2, không phải 5.

Câu 5 · Tự luận

So sánh $\frac{a − b}{b − a}$ với −1 khi a ≠ b.

Xem lời giải sau khi tự làm

a − b = −(b − a), và mẫu khác 0 nên phân thức bằng −1.

Sơ đồ ghi nhớ

Mẫu khác 0.
Phân tích thành tích.
Rút nhân tử chung.
Giữ điều kiện ban đầu.

Luyện tập và học tiếp

Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.

Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.