Phương trình lượng giác cơ bản

Mục tiêu và kiến thức nền

Giải đúng các phương trình sin, cos, tan, cot; viết nghiệm tổng quát và chọn nghiệm trên khoảng. Cần biết đường tròn lượng giác, công thức liên quan và tập xác định.

Các dạng cơ bản

sin x=a có nghiệm khi |a|≤1. Chọn α với sin α=a; nghiệm x=α+2kπ hoặc x=π−α+2kπ. Có thể chọn α=arcsin a thuộc [−π/2;π/2].

cos x=a có nghiệm khi |a|≤1. Đặt α=arccos a thuộc [0;π]; nghiệm x=±α+2kπ.

tan x=a: chọn α=arctan a thuộc (−π/2;π/2), nghiệm x=α+kπ. cot x=a: chọn một α∈(0;π) sao cho cot α=a, nghiệm x=α+kπ. Ở mọi công thức k∈ℤ. Nếu dùng độ, thay π bằng 180° và 2π bằng 360°.

Với hai biểu thức u,v: sin u=sin v dẫn đến u=v+2kπ hoặc u=π−v+2kπ; cos u=cos v dẫn đến u=±v+2kπ; tan u=tan v hoặc cot u=cot v dẫn đến u=v+kπ, kèm điều kiện xác định ban đầu.

Phương pháp giải

Bước đầu ghi tập xác định, nhất là khi có tan, cot hoặc mẫu. Biến đổi về phương trình cơ bản; giải riêng từng nhánh; hợp các họ nghiệm và loại nghiệm không thỏa điều kiện. Với sin(ax+b)=c, giải ax+b theo hai nhánh rồi mới chia a; nếu a=0 xét phương trình hằng riêng. Khi giới hạn x∈[m;n], thay mỗi họ nghiệm vào bất đẳng thức m≤x≤n để tìm các giá trị nguyên k; đầu mút mở phải dùng dấu nghiêm.

Phương trình tích P(x)Q(x)=0 được tách thành P(x)=0 hoặc Q(x)=0 trên miền xác định. Không rút gọn nhân tử bằng phép chia làm mất nghiệm. Nếu đặt t=sin x hoặc cos x để giải phương trình bậc hai, chỉ giữ t∈[−1;1], rồi giải lại phương trình lượng giác cho từng giá trị t.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Máy tính thường chỉ trả một giá trị góc chính, chưa phải toàn bộ nghiệm. Các trường hợp sin x=0, sin x=±1 hoặc cos x=±1 có thể gộp họ nghiệm để tránh đếm trùng. Không bình phương rồi nhận tất cả nghiệm mà bỏ qua việc đối chiếu phương trình ban đầu.

Luyện tập bài này

• Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản – Trắc nghiệm
• Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản – Tự luận