TOÁN 7 · KẾT NỐI TRI THỨC · BÀI 32
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên – Toán 7
Từ một ngôi nhà đến con đường thẳng, lối đi ngắn nhất không phải lối vẽ đẹp nhất: đó là đoạn vuông góc từ nhà xuống đường.
Nhận biết đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Em cần nhớ: Tam giác vuông, cạnh huyền và quan hệ góc–cạnh.
Nhìn hình để hiểu
Đường nào vuông góc, đường nào xiên?
Cho A không nằm trên đường thẳng d. Kẻ AH vuông góc d tại H. AH là đoạn vuông góc; H là chân đường vuông góc. Với M thuộc d và M khác H, AM là đường xiên kẻ từ A đến d. Các đường xiên được so với AH phải cùng xuất phát từ A.
Vì sao đường vuông góc ngắn nhất?
Tam giác AHM vuông tại H, nên AM là cạnh huyền và lớn hơn cạnh góc vuông AH. Vì M có thể là bất cứ điểm nào của d khác H, AH ngắn hơn mọi đường xiên từ A đến d. Độ dài AH được gọi là khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Ứng dụng và giới hạn của dữ kiện
Muốn xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường, phải dựng hoặc nhận biết đoạn vuông góc. Một đường xiên dài 10 m không có nghĩa khoảng cách đến đường cũng bằng 10 m. Nếu điểm đã nằm trên đường thẳng, khoảng cách bằng 0.
Bài toán chỉ hỏi so sánh thì có thể dùng cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông; không tự đưa công thức độ dài chưa học vào lời giải.
Ba ví dụ, từng bước rõ ràng
Ví dụ 1
A nằm ngoài d, AH vuông góc d, M thuộc d và M ≠ H. So sánh AH và AM.
- H, M cùng nằm trên d nên AH vuông góc HM.
- Tam giác AHM vuông tại H; AM đối diện góc 90°.
- Cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông: AM > AH.
AH < AM.
Ví dụ 2
Khoảng cách từ nhà A đến đường d là 12 m. Một lối đi từ A đến điểm M trên d dài 15 m. Lối nào ngắn hơn?
- Khoảng cách 12 m chính là độ dài đoạn vuông góc AH.
- Lối AM dài 15 m nên không phải đoạn ngắn nhất.
- Chênh lệch 15 − 12 = 3 m.
Lối vuông góc ngắn hơn 3 m.
Ví dụ 3
Biết AH vuông góc d và AH = 8 cm. Có điểm M trên d sao cho AM = 7 cm không?
- Nếu M = H thì AM = 8 cm.
- Nếu M ≠ H thì AM > AH = 8 cm.
- Cả hai trường hợp đều không thể có AM = 7 cm.
Không có điểm M như vậy.
Lỗi thường gặp
- Gọi mọi đoạn nối điểm với đường là khoảng cách.
- So hai đoạn không cùng xuất phát từ một điểm.
- Đọc hình xiên thành vuông góc khi chưa có kí hiệu hoặc giả thiết.
Tự kiểm tra trước khi xem lời giải
Em thử xem
AH vuông góc d, B thuộc d và B ≠ H. So sánh AH với AB.
Xem lời giải sau khi tự làm
AH là đoạn vuông góc, AB là đường xiên, nên AH < AB.
Câu 1
AH vuông góc d; M thuộc d khác H. AH = 6 cm. AM có thể bằng 5 cm không?
Xem gợi ý
So đường xiên với đoạn vuông góc.
Xem lời giải
Không, vì AM > 6 cm.
Câu 2
Nếu A nằm trên d, khoảng cách từ A đến d bằng bao nhiêu?
Xem gợi ý
A đã thuộc chính đường cần đến.
Xem lời giải
Bằng 0.
Câu 3
Một đoạn từ A đến d dài 9 cm nhưng chưa biết có vuông góc không. Có thể kết luận khoảng cách bằng 9 cm không?
Xem gợi ý
Khoảng cách cần được đo theo đoạn vuông góc.
Xem lời giải
Chưa thể. Khoảng cách không vượt quá 9 cm; chỉ bằng 9 cm nếu đoạn đã cho vuông góc d.
Bốn ý em cần nhớ
- Kẻ vuông góc từ điểm đến đường.
- Chân vuông góc nằm trên đường.
- Đường xiên dài hơn đoạn vuông góc.
- Khoảng cách là độ dài ngắn nhất đó.
Luyện tập và học tiếp
Làm trước khi xem đáp án. Nếu sai, đối chiếu lời giải rồi quay lại đúng phần kiến thức em còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Bố cục bài học theo Toán 7 – Kết nối tri thức với cuộc sống. Ví dụ, câu tự kiểm tra và hình minh họa do Gia Sư SV biên soạn; số liệu tình huống dùng để học tập. Tham khảo cấu trúc chương trình của NXB Giáo dục Việt Nam.