Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác: lý thuyết và bài tập Toán 7

Học chương này theo ba bước

1. Ôn kiến thức nền ở đầu từng bài; nếu chưa nhớ, làm lại ví dụ đơn giản.
2. Đọc hình và tự giải câu hỏi trước khi mở lời giải.
3. Luyện bài tập, ghi lại lỗi và thử lại sau khi sửa.

Đọc độ dài, góc và các đường đặc biệt trong tam giác

Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn và ngược lại. Tổng hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại. Với ba độ dài a, b, c là cạnh tam giác, ta có |a − b| < c < a + b. Kiểm tra điều kiện này trước khi tính những đại lượng khác.

Ví dụ 1. Điều kiện để ghép thành tam giác

Cho hai cạnh dài 3 cm và 7 cm, tìm khoảng giá trị của cạnh thứ ba x. Theo bất đẳng thức tam giác: |7 − 3| < x < 7 + 3, hay 4 < x < 10 (cm). Nếu x là số nguyên dương, x có thể bằng 5, 6, 7, 8 hoặc 9. Bộ ba 5 cm, 7 cm, 13 cm không lập thành tam giác vì 5 + 7 < 13.

Ví dụ 2. So sánh hai góc từ hai cạnh

Trong tam giác ABC, nếu AC = 7 cm và AB = 5 cm, thì ∠B đối diện AC, ∠C đối diện AB. Vì AC > AB nên ∠B > ∠C. Đừng so sánh góc A với B chỉ vì hai cạnh được ghi cạnh nhau trên hình.

Ví dụ 3. Đường vuông góc ngắn nhất

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, hạ AH vuông góc d tại H. Với điểm B bất kỳ khác H nằm trên d, tam giác AHB vuông tại H nên AH < AB. Vì thế đoạn vuông góc AH là khoảng cách ngắn nhất từ điểm A đến đường thẳng d. Nếu đề hỏi khoảng cách, phải xác định chân đường vuông góc, không lấy một đường xiên tùy ý.

Ví dụ 4. Trọng tâm và ba đường trung tuyến

Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm G. Nếu AM là đường trung tuyến dài 9 cm thì AG = 6 cm và GM = 3 cm, vì trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số AG : GM = 2 : 1 kể từ đỉnh. Phân biệt trung tuyến (nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện), phân giác (chia một góc đôi), trung trực (vuông góc tại trung điểm cạnh) và đường cao (qua đỉnh vuông góc cạnh đối diện hoặc đường thẳng chứa cạnh).

Bảng chọn định lí theo yêu cầu bài

Năm câu tự kiểm có lời giải

1. Ba đoạn dài 5, 7, 13 cm có lập thành tam giác không?
2. Ba đoạn dài 6, 8, 10 cm có lập thành tam giác không?
3. Hai cạnh dài 3 và 7 cm, cạnh thứ ba x nguyên dương có thể nhận các giá trị nào?
4. Trọng tâm G nằm trên trung tuyến AM = 9 cm. Tính AG và GM.
5. Trong tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 7 cm, so sánh ∠B và ∠C.

Mẹo vẽ hình: Ghi rõ đỉnh, cạnh đối diện từng góc và đánh dấu trung điểm trước khi kết luận. Với đường cao ngoài tam giác, có thể cần kéo dài cạnh đối diện; không được tùy ý đổi đường cao thành trung tuyến hoặc phân giác.