TOÁN 7 · KẾT NỐI TRI THỨC · BÀI 34

Ba đường trung tuyến và ba đường phân giác của tam giác – Toán 7

Một miếng bìa tam giác có điểm để giữ thăng bằng; một vòng tròn nằm gọn trong tam giác có tâm cách đều ba cạnh. Hai điểm đặc biệt này được tìm bằng hai loại đường khác nhau.

Học xong, em làm được gì?

Phân biệt trung tuyến với phân giác; vận dụng tính chất trọng tâm và giao điểm ba phân giác.

Em cần nhớ: Trung điểm, tia phân giác và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Nhìn hình để hiểu

M là trung điểm BC. Trọng tâm G nằm trên cả ba trung tuyến và chia AM theo tỉ lệ 2 : 1.

Ba đoạn nét đứt là các khoảng cách vuông góc từ I đến cạnh. Tam giác đều được dùng làm hình minh họa dễ quan sát.

Trung tuyến và trọng tâm

Đoạn nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện là trung tuyến. Ba trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm G, gọi là trọng tâm. Nếu AM là trung tuyến thì $A G = \frac{2}{3} A M$ , $G M = \frac{1}{3} A M$ và AG = 2GM.

Tỉ lệ 2 : 1 được tính theo thứ tự từ đỉnh đến trọng tâm rồi đến trung điểm. Trọng tâm nằm bên trong mọi tam giác; không phải trung điểm của trung tuyến.

Phân giác và điểm cách đều ba cạnh

Đường phân giác của tam giác là đoạn phân giác trong của một góc nối đỉnh với cạnh đối diện. Ba đường phân giác trong đồng quy tại I. Điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh, nghĩa là các đoạn vuông góc kẻ từ I đến ba đường thẳng chứa cạnh có độ dài bằng nhau.

Tính chất “cách đều ba cạnh” khác “cách đều ba đỉnh”. Khi vẽ khoảng cách từ I đến một cạnh, phải có dấu vuông góc; không đo một đoạn xiên tùy ý.

Chọn đúng công cụ

Đề nhắc trung điểm, trung tuyến, tỉ số 2 : 1 thì nghĩ đến trọng tâm. Đề nhắc chia đôi góc hoặc khoảng cách đến cạnh thì nghĩ đến phân giác. Chỉ trong một số tam giác đặc biệt, các đường này mới trùng nhau; không giả sử điều đó với tam giác bất kì.

Ba ví dụ, từng bước rõ ràng

Ví dụ 1

G là trọng tâm tam giác ABC, AM là trung tuyến dài 9 cm. Tính AG và GM.

Trên trung tuyến AM, trọng tâm chia theo AG : GM = 2 : 1.
AG = (2/3) × 9 = 6 cm; GM = (1/3) × 9 = 3 cm.
Kiểm tra: AG + GM = 9 và AG = 2GM.

AG = 6 cm, GM = 3 cm.

Ví dụ 2

G là trọng tâm, AM là trung tuyến, GM = 4 cm. Tính AM.

AG = 2GM = 8 cm.
AM = AG + GM = 8 + 4 = 12 cm.
Cũng có thể dùng AM = 3GM.

AM = 12 cm.

Ví dụ 3

I là giao điểm ba phân giác trong. Khoảng cách từ I đến AB là 3 cm. Khoảng cách từ I đến BC và CA bằng bao nhiêu?

Giao điểm ba phân giác trong cách đều ba cạnh.
Kẻ các đoạn vuông góc từ I đến AB, BC, CA.
Ba độ dài bằng nhau; một độ dài đã biết là 3 cm.

Hai khoảng cách còn lại đều bằng 3 cm.

Lỗi thường gặp

Lấy AG bằng một nửa AM.
Nhầm cách đều ba cạnh với cách đều ba đỉnh.
Gọi mọi trung tuyến là đường vuông góc hoặc phân giác.

Tự kiểm tra trước khi xem lời giải

Em thử xem

G là trọng tâm, AM là trung tuyến dài 9 cm. AG bằng?

Xem lời giải sau khi tự làm

AG = (2/3) × 9 = 6 cm; GM = 3 cm.

Câu 1

G là trọng tâm, AM là trung tuyến, AG = 10 cm. Tính GM và AM.

Xem gợi ý

Dùng AG = 2GM.

Xem lời giải

GM = 5 cm; AM = 10 + 5 = 15 cm.

Câu 2

M là trung điểm BC. AM có nhất thiết vuông góc BC trong mọi tam giác ABC không?

Xem gợi ý

Trung tuyến chỉ cần đi qua trung điểm.

Xem lời giải

Không. AM là trung tuyến, không nhất thiết là đường cao.

Câu 3

Trong tam giác ABC, I nằm trên tia phân giác trong của góc A = 60°. Tính góc BAI.

Xem gợi ý

AI chia đôi góc A.

Xem lời giải

Góc BAI = 60°/2 = 30°.

Bốn ý em cần nhớ

Trung tuyến đi đến trung điểm.
Trọng tâm: AG = 2GM.
Phân giác chia đôi góc.
Giao ba phân giác cách đều ba cạnh.

Luyện tập và học tiếp

Làm trước khi xem đáp án. Nếu sai, đối chiếu lời giải rồi quay lại đúng phần kiến thức em còn vướng.

Biên soạn: Gia Sư SV. Bố cục bài học theo Toán 7 – Kết nối tri thức với cuộc sống. Ví dụ, câu tự kiểm tra và hình minh họa do Gia Sư SV biên soạn; số liệu tình huống dùng để học tập. Tham khảo cấu trúc chương trình của NXB Giáo dục Việt Nam.