TOÁN 7 · KẾT NỐI TRI THỨC · BÀI 35
Ba đường trung trực và ba đường cao của tam giác – Toán 7
Muốn đặt một điểm cách đều ba ngôi nhà, ta dùng đường trung trực. Muốn xác định trực tâm, ta dùng các đường vuông góc từ đỉnh: hai nhiệm vụ không giống nhau.
Nhận biết tâm cách đều ba đỉnh và trực tâm; phân biệt bốn loại đường đặc biệt trong tam giác.
Em cần nhớ: Đường trung trực của đoạn thẳng, đường cao và tam giác vuông.
Nhìn hình để hiểu
Ba đường trung trực
Đường trung trực của một cạnh là đường thẳng qua trung điểm cạnh ấy và vuông góc với cạnh. Ba đường trung trực đồng quy tại O. Ta có OA = OB = OC; vì vậy đường tròn tâm O với bán kính OA đi qua ba đỉnh tam giác.
Đường trung trực không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện. Giao điểm O có thể nằm trong, trên cạnh hoặc ngoài tam giác, tùy dạng tam giác. Không tự kéo O vào trong hình nếu dữ kiện không cho phép.
Ba đường cao
Đường cao xuất phát từ A là đoạn vuông góc từ A đến đường thẳng chứa BC. Chân đường cao có thể nằm trên phần kéo dài của cạnh. Ba đường thẳng chứa đường cao đồng quy tại H, gọi là trực tâm.
Trong tam giác nhọn, H nằm trong; trong tam giác vuông, H là đỉnh góc vuông; trong tam giác tù, H nằm ngoài. Phải giữ phần kéo dài cần thiết khi vẽ hình, không ép chân vuông góc nằm trong cạnh.
Bốn đường dễ nhầm
Trung tuyến: từ đỉnh đến trung điểm. Phân giác: chia đôi góc. Trung trực: qua trung điểm và vuông góc cạnh. Đường cao: từ đỉnh và vuông góc đường thẳng chứa cạnh đối diện. Tên gọi gắn với điều kiện xác định, không gắn với nét vẽ trông gần giống nhau.
Ba ví dụ, từng bước rõ ràng
Ví dụ 1
O là giao điểm đường trung trực AB và BC. Biết OA = 5 cm. Tính OB, OC.
- O thuộc trung trực AB nên OA = OB.
- O thuộc trung trực BC nên OB = OC.
- Suy ra OA = OB = OC = 5 cm. O cũng nằm trên trung trực AC.
OB = OC = 5 cm.
Ví dụ 2
Tam giác ABC vuông tại A. Tìm trực tâm.
- AB vuông góc AC nên đường thẳng AB chứa đường cao từ B xuống AC.
- Tương tự, AC chứa đường cao từ C xuống AB.
- Hai đường cao này cắt nhau tại A; đường cao còn lại cũng đi qua A.
Trực tâm là A.
Ví dụ 3
Cần xác định một điểm cách đều ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Dựng như thế nào?
- Dựng đường trung trực của AB bằng thước và compa.
- Dựng đường trung trực của BC; gọi giao điểm là O.
- Vì OA = OB và OB = OC nên O cách đều ba điểm. Chỉ cần hai trung trực để xác định O.
Lấy giao điểm hai đường trung trực.
Lỗi thường gặp
- Cho trung trực đi qua đỉnh mà không có điều kiện.
- Nhầm trực tâm H với tâm đường tròn qua ba đỉnh O.
- Bỏ nét kéo dài trong hình tam giác tù.
Tự kiểm tra trước khi xem lời giải
Em thử xem
Điểm cách đều ba đỉnh tam giác là giao của?
Xem lời giải sau khi tự làm
Giao các đường trung trực cách đều cả ba đỉnh.
Câu 1
O cách đều A và B. O thuộc đường nào?
Xem gợi ý
Dùng tính chất đảo của đường trung trực.
Xem lời giải
O thuộc đường trung trực của AB.
Câu 2
Hai đường cao từ B và C gặp nhau tại H. Đường AH có quan hệ gì với BC, nếu H khác A?
Xem gợi ý
Sử dụng sự đồng quy của ba đường cao.
Xem lời giải
AH vuông góc BC.
Câu 3
Trong tam giác tù, trực tâm có thể nằm ngoài tam giác không?
Xem gợi ý
Nhớ chân đường cao có thể thuộc phần kéo dài.
Xem lời giải
Có. Trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
Bốn ý em cần nhớ
- Trung trực: trung điểm + vuông góc.
- O cách đều ba đỉnh.
- Đường cao: đỉnh + vuông góc.
- H là giao các đường thẳng chứa đường cao.
Luyện tập và học tiếp
Làm trước khi xem đáp án. Nếu sai, đối chiếu lời giải rồi quay lại đúng phần kiến thức em còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Bố cục bài học theo Toán 7 – Kết nối tri thức với cuộc sống. Ví dụ, câu tự kiểm tra và hình minh họa do Gia Sư SV biên soạn; số liệu tình huống dùng để học tập. Tham khảo cấu trúc chương trình của NXB Giáo dục Việt Nam.