Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm – Toán 11 Bài 32 – Gia Sư SV

Tính đạo hàm đúng bắt đầu bằng nhận diện cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp. Quy tắc hàm hợp giúp tránh lỗi bỏ quên đạo hàm bên trong.

Mục tiêu: Dùng bảng đạo hàm; tính tổng, tích, thương, hàm hợp; xử lí mũ, lôgarit, lượng giác và tiếp tuyến.

Kiến thức nền: hàm số, giới hạn, mũ–lôgarit và lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Bảng đạo hàm cơ bản

$(c)^{'} = 0$ ; $(x)^{'} = 1$ ; $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (n nguyên dương); $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ với $x > 0$ ; $(1 / x)^{'} = - 1 / x^{2}$ với $x \neq 0$ . Lượng giác tính theo radian: $(\sin x)^{'} = \cos x$ , $(\cos x)^{'} = - \sin x$ , $(\tan x)^{'} = 1 / \cos^{2} x$ , $(\cot x)^{'} = - 1 / \sin^{2} x$ tại các điểm xác định.

Ghi nhớ: tổng, tích và thương

Với u,v có đạo hàm: $(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ ; $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ; ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ với $v \neq 0$ . Đạo hàm một tích không bằng tích hai đạo hàm; đạo hàm một thương không bằng thương hai đạo hàm.

Hàm hợp, mũ và lôgarit

Nếu $y = f (u (x))$ thì $y^{'} = f^{'} (u) u^{'}$ . Vì vậy $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ ; $(\sin u)^{'} = u^{'} \cos u$ ; $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ ; $(a^{u})^{'} = u^{'} a^{u} \ln a$ ; $(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ ; $(\log_{a} u)^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$ . Với lôgarit cần $u > 0$ , cơ số $a > 0$ , $a \neq 1$ . Với căn hợp, công thức $u^{'} / (2 \sqrt{u})$ dùng khi $u > 0$ .

Đạo hàm của x² tại 1 bằng 2. Tiếp tuyến có hệ số góc 2 và đi qua M(1;1), nên có phương trình y = 2x − 1.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Hàm hợp chứa căn

Tính đạo hàm $y = \sqrt{3 x + 1}$ .

Đặt $u = 3 x + 1$ , $u^{'} = 3$ .
$y^{'} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ với $x > - 1 / 3$ .
Hàm có miền xác định x≥−1/3, nhưng công thức đạo hàm hai phía này dùng trên khoảng x>−1/3.

Ví dụ 2. Quy tắc thương

Tính đạo hàm $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Điều kiện $x \neq 1$ . Lấy u=2x+1, v=x−1.
$y^{'} = \frac{2 (x - 1) - (2 x + 1)}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}$ .

Ví dụ 3. Hàm hợp mũ và lôgarit

Tính đạo hàm $y = e^{2 x} + \ln (x^{2} + 1)$ .

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
Vì $x^{2} + 1 > 0$ , $(\ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
Vậy $y^{'} = 2 e^{2 x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ với mọi x thực.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không bỏ hệ số đạo hàm bên trong.
Công thức thương có dấu trừ và mẫu bình phương.
Đạo hàm lượng giác trong bảng dùng biến đo radian.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Cho $f (x) = x^{3} - 2 x$ . Tính $f^{'} (2)$ .

Xem lời giải

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ , nên $f^{'} (2) = 12 - 2 = 10$ .

Bài tự luyện 2

Cho $f (x) = x^{3} - 3 x$ . Tính $f^{'} (2)$ .

Xem lời giải

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , nên $f^{'} (2) = 12 - 3 = 9$ .

Bài tự luyện 3

Cho $f (x) = x^{3} - 4 x$ . Tính $f^{'} (2)$ .

Xem lời giải

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4$ , nên $f^{'} (2) = 12 - 4 = 8$ .

Bài tự luyện 4

Cho $f (x) = x^{3} - 5 x$ . Tính $f^{'} (2)$ .

Xem lời giải

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$ , nên $f^{'} (2) = 12 - 5 = 7$ .

Bài tự luyện 5

Tính đạo hàm $y = (x^{2} + 1) e^{x}$ .

Xem lời giải

Dùng quy tắc tích: $y^{'} = 2 x e^{x} + (x^{2} + 1) e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x + 1) = e^{x} (x + 1)^{2}$ . Miền xác định và có đạo hàm là R.

Bài tự luyện 6

Tính đạo hàm $y = \log_{2} (5 x - 1)$ .

Xem lời giải

Điều kiện $x > 1 / 5$ . Đặt u=5x−1, u′=5. Công thức cho $y^{'} = \frac{5}{(5 x - 1) \ln 2}$ trên miền đó.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.